Страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите прямую $c'$, полученную параллельным переносом прямой $c$ на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.12).

Рис. 8.12

Для построения прямой $c'$, полученной в результате параллельного переноса прямой $c$ на вектор $\vec{a}$, необходимо выполнить смещение точек прямой $c$ в соответствии с заданным вектором.

1. Анализ вектора переноса. Рассмотрим вектор $\vec{a}$, изображенный на координатной сетке. Его конец смещен относительно начала на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Это означает, что каждая точка переносимой фигуры должна быть смещена на 3 единицы по горизонтали (вправо) и на 1 единицу по вертикали (вверх).

2. Построение прямой $c'$. Чтобы построить новую прямую, достаточно перенести любые две ее точки и провести через них новую прямую.
- Выберем на исходной прямой $c$ удобную точку, например, левый конец изображенного отрезка. Сместим эту точку на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Получим первую точку искомой прямой $c'$.
- Повторим операцию для другой точки на прямой $c$, например, для правого конца отрезка. Сместим и эту точку на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, получив вторую точку прямой $c'$.
- Проведем через две полученные точки новую прямую. Эта прямая и будет искомой прямой $c'$. По свойству параллельного переноса, прямая $c'$ будет параллельна прямой $c$.

Ответ:
На рисунке ниже показано построение. Исходные прямая $c$ и вектор $\vec{a}$ показаны зеленым цветом. Полученная в результате переноса прямая $c'$ показана синим цветом. Пунктирные линии иллюстрируют смещение концов отрезка на прямой $c$.

11. Казахский орнамент — яркий элемент национальной культуры. Это часть истории казахского народа, дань его обычаям и традициям. На рисунке 8.13 изображены части геометрических казахских орнаментов. Изобразите следующие орнаменты, полученные из данного орнамента параллельным переносом на вектор $ \vec{a} $.

Рис. 8.12

а)б)в)

г)д)е)
Рис. 8.13

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, в данном случае вектором $\vec{a}$. Чтобы получить непрерывный орнамент из заданного фрагмента, мы должны выполнить параллельный перенос этого фрагмента на указанный для него вектор $\vec{a}$. В результате исходный и смещенный фрагменты образуют единый, непрерывный узор.

а)

Исходный фрагмент состоит из двух симметричных спиралевидных элементов. Вектор переноса $\vec{a}$ является горизонтальным, направлен вправо, и его длина равна ширине этого фрагмента. Применение параллельного переноса на данный вектор приводит к тому, что копия фрагмента "пристраивается" вплотную справа к оригиналу. В результате образуется непрерывная горизонтальная лента орнамента.

Ответ:

б)

Данный фрагмент напоминает стилизованную букву "Х" или песочные часы с пересекающимися диагоналями. Вектор переноса $\vec{a}$ — горизонтальный, направлен вправо, и его длина равна ширине фрагмента. Параллельный перенос на этот вектор соединяет правую часть исходного фрагмента с левой частью его копии, создавая непрерывный узор из повторяющихся элементов.

Ответ:

в)

Фрагмент представляет собой простой "крючок". Вектор переноса $\vec{a}$ горизонтальный, направлен вправо, с длиной, равной ширине основания фрагмента. Последовательное применение параллельного переноса создает узор, похожий на зубцы крепостной стены.

Ответ:

г)

Исходный фрагмент — это элемент вертикального лабиринта. Вектор переноса $\vec{a}$ является вертикальным, направлен вверх, и его длина равна высоте фрагмента. Параллельный перенос на этот вектор помещает копию фрагмента точно над оригиналом. Нижняя точка нового фрагмента совпадает с верхней точкой исходного, образуя непрерывную вертикальную линию орнамента.

Ответ:

д)

Фрагмент представляет собой симметричный вертикальный узор. Вектор переноса $\vec{a}$ — вертикальный, направлен вверх, и его длина равна высоте фрагмента. При переносе копия элемента располагается над исходным, формируя непрерывную вертикальную полосу орнамента.

Ответ:

е)

Данный фрагмент является элементом вертикального спиралевидного лабиринта. Вектор переноса $\vec{a}$ — вертикальный, направлен вверх, с длиной, равной высоте фрагмента. Перенос совмещает верхнюю часть исходного элемента с нижней частью его копии, создавая непрерывный вертикальный узор.

Ответ:

12. Докажите, что параллельный перенос переводит треугольник в равный ему треугольник.

Чтобы доказать, что параллельный перенос переводит треугольник в равный ему треугольник, мы должны показать, что у исходного и полученного треугольников соответствующие стороны равны. Равенство треугольников в этом случае будет следовать из третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое преобразование является движением (или изометрией), а основное свойство любого движения — сохранение расстояния между точками. Докажем это свойство для параллельного переноса.

Пусть параллельный перенос задан вектором $\vec{p}$. Пусть $M$ и $N$ — две произвольные точки на плоскости, а точки $M'$ и $N'$ — их образы при данном параллельном переносе. По определению параллельного переноса, $\vec{MM'} = \vec{p}$ и $\vec{NN'} = \vec{p}$.

Рассмотрим векторы, определяющие отрезки $MN$ и $M'N'$. Используя правило сложения векторов (правило многоугольника), мы можем выразить вектор $\vec{M'N'}$: $\vec{M'N'} = \vec{M'M} + \vec{MN} + \vec{NN'}$.

Поскольку $\vec{MM'} = \vec{p}$, то $\vec{M'M} = -\vec{p}$. Подставим известные нам векторы в равенство: $\vec{M'N'} = -\vec{p} + \vec{MN} + \vec{p}$.

Упростив выражение, получаем: $\vec{M'N'} = \vec{MN}$.

Равенство векторов означает, что их длины (модули) равны: $|\vec{M'N'}| = |\vec{MN}|$. Длина вектора, соединяющего две точки, — это и есть расстояние между этими точками. Следовательно, расстояние $M'N'$ равно расстоянию $MN$. Мы доказали, что параллельный перенос сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

Теперь применим этот результат к треугольнику. Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. В результате параллельного переноса его вершины $A, B, C$ переходят в точки $A', B', C'$, образуя треугольник $\triangle A'B'C'$.

Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния, длины сторон треугольника $\triangle ABC$ будут равны соответствующим длинам сторон треугольника $\triangle A'B'C'$:

• Длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$ (так как расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$).
• Длина стороны $BC$ равна длине стороны $B'C'$.
• Длина стороны $AC$ равна длине стороны $A'C'$.

Таким образом, мы имеем $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, и $AC = A'C'$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Это означает, что стороны любого треугольника при параллельном переносе переходят в равные им отрезки. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник, полученный в результате параллельного переноса, равен исходному треугольнику.

13. Докажите, что параллельный перенос переводит:

а) параллелограмм в параллелограмм;

б) прямоугольник в прямоугольник;

в) ромб в ромб;

г) квадрат в квадрат.

Основным свойством параллельного переноса, которое будет использоваться в доказательстве, является то, что это движение (изометрия). Это означает, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и, как следствие, сохраняет длины отрезков и величины углов.

а) Пусть $ABCD$ — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. При параллельном переносе вершины $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ является образом исходного параллелограмма. Так как параллельный перенос сохраняет расстояния, длины сторон четырехугольника $A'B'C'D'$ равны длинам соответствующих сторон параллелограмма $ABCD$: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = AD$. Из этого следует, что у четырехугольника $A'B'C'D'$ противолежащие стороны попарно равны: $A'B' = C'D'$ и $B'C' = D'A'$. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — параллелограмм. Ответ: Параллельный перенос переводит параллелограмм в параллелограмм.

б) Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). Пусть $ABCD$ — прямоугольник. Из доказательства в пункте а) следует, что его образ, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Параллельный перенос сохраняет величины углов. Поскольку все углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то и все углы параллелограмма $A'B'C'D'$ будут равны $90^\circ$. Например, $\angle A'B'C' = \angle ABC = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, $A'B'C'D'$ — прямоугольник. Ответ: Параллельный перенос переводит прямоугольник в прямоугольник.

в) Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть $ABCD$ — ромб. Тогда $AB = BC = CD = DA$. Из доказательства в пункте а) следует, что образ ромба, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Параллельный перенос сохраняет расстояния, поэтому длины сторон сохраняются: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = DA$. Так как все стороны исходного ромба были равны, то и все стороны образа $A'B'C'D'$ равны между собой: $A'B' = B'C' = C'D' = D'A'$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — ромб. Ответ: Параллельный перенос переводит ромб в ромб.

г) Квадрат — это фигура, которая является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны). Пусть $ABCD$ — квадрат. Из пункта б), так как квадрат является прямоугольником, его образ $A'B'C'D'$ при параллельном переносе будет прямоугольником. Это значит, что $A'B'C'D'$ — параллелограмм с прямыми углами. Из пункта в), так как квадрат является ромбом, его образ $A'B'C'D'$ будет ромбом. Это значит, что у параллелограмма $A'B'C'D'$ все стороны равны. Таким образом, фигура $A'B'C'D'$ является одновременно прямоугольником и ромбом, что по определению означает, что $A'B'C'D'$ — квадрат. Ответ: Параллельный перенос переводит квадрат в квадрат.

14. Докажите, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: геометрический и аналитический.

Способ 1: Геометрическое доказательство

По определению, окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Пусть у нас есть окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, расстояние от центра $O$ до этой точки постоянно и равно радиусу: $|OM| = R$.

Рассмотрим параллельный перенос, который задается некоторым вектором $\vec{a}$. При этом переносе каждая точка плоскости смещается на вектор $\vec{a}$. Пусть центр исходной окружности $O$ переходит в точку $O'$, а произвольная точка $M$ на окружности переходит в точку $M'$.

Параллельный перенос является движением (изометрией). Основное свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между образами точек $M'$ и $O'$ будет равно расстоянию между их прообразами, точками $M$ и $O$:

$|M'O'| = |MO|$

Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности, мы знаем, что $|MO| = R$. Следовательно, для любой точки $M'$, полученной в результате переноса, выполняется условие:

$|M'O'| = R$

Это означает, что все точки $M'$, являющиеся образами точек исходной окружности, лежат на расстоянии $R$ от точки $O'$. Множество всех таких точек по определению является окружностью с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.

Таким образом, параллельный перенос переводит окружность в окружность с тем же радиусом.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку параллельный перенос является движением и сохраняет расстояния, любая точка на исходной окружности, находящаяся на расстоянии $R$ от центра $O$, переходит в точку, находящуюся на том же расстоянии $R$ от нового центра $O'$, что и определяет окружность того же радиуса.

Способ 2: Аналитическое (координатное) доказательство

Пусть в декартовой системе координат задана окружность с центром в точке $O(x_0, y_0)$ и радиусом $R$. Уравнение этой окружности имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{a} = (a, b)$. При таком переносе любая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$, которые определяются формулами:

$x' = x + a$
$y' = y + b$

Чтобы найти уравнение фигуры, в которую переходит исходная окружность, выразим старые координаты $(x, y)$ через новые $(x', y')$:

$x = x' - a$
$y = y' - b$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной окружности:

$((x' - a) - x_0)^2 + ((y' - b) - y_0)^2 = R^2$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x' - (x_0 + a))^2 + (y' - (y_0 + b))^2 = R^2$

Мы получили уравнение, которое описывает множество всех точек $(x', y')$, являющихся образами точек исходной окружности. Это уравнение является каноническим уравнением окружности.

Центр новой окружности имеет координаты $(x_0 + a, y_0 + b)$, что соответствует образу центра исходной окружности $O(x_0, y_0)$ при переносе на вектор $(a, b)$.

Квадрат радиуса новой окружности равен $R^2$, следовательно, ее радиус равен $R$.

Таким образом, мы доказали, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение образа окружности, полученное путем подстановки формул параллельного переноса в исходное уравнение, является уравнением окружности с тем же радиусом $R$.

15. Точка А имеет координаты $(3; -2)$. Найдите координаты точки $A'$, полученной параллельным переносом точки А на вектор $\vec{a}(-2; 1)$.

Для нахождения координат точки $A'$, полученной в результате параллельного переноса точки $A(x; y)$ на вектор $\vec{a}(a_x; a_y)$, необходимо к каждой координате исходной точки прибавить соответствующую координату вектора. Координаты новой точки $A'(x'; y')$ вычисляются по формулам:

$x' = x + a_x$

$y' = y + a_y$

В нашем случае даны:

Координаты точки $A(3; -2)$, значит $x = 3$ и $y = -2$.

Координаты вектора $\vec{a}(-2; 1)$, значит $a_x = -2$ и $a_y = 1$.

Подставим эти значения в формулы, чтобы найти координаты точки $A'$:

Координата $x'$ точки $A'$: $x' = 3 + (-2) = 3 - 2 = 1$.

Координата $y'$ точки $A'$: $y' = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точка $A'$ имеет координаты $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

16. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, параллельный перенос на который переводит точку $A(3; 4)$ в точку $A'(-2; 1)$.

Параллельный перенос точки $A(x_A; y_A)$ в точку $A'(x_{A'}; y_{A'})$ осуществляется с помощью вектора переноса $\vec{a}(a_x; a_y)$. Связь между координатами точек и вектором переноса выражается следующими формулами:
$x_{A'} = x_A + a_x$
$y_{A'} = y_A + a_y$

Из этих формул можно выразить координаты $a_x$ и $a_y$ вектора $\vec{a}$. Вектор переноса $\vec{a}$ — это вектор, соединяющий начальную точку с конечной, то есть $\vec{a} = \vec{AA'}$. Его координаты вычисляются как разность координат конца и начала вектора:
$a_x = x_{A'} - x_A$
$a_y = y_{A'} - y_A$

Согласно условию задачи, имеем начальную точку $A(3; 4)$ и конечную точку $A'(-2; 1)$. Подставим значения координат в формулы для нахождения компонент вектора $\vec{a}$:
$a_x = -2 - 3 = -5$
$a_y = 1 - 4 = -3$

Таким образом, координаты искомого вектора переноса $\vec{a}$ равны $(-5; -3)$.

Ответ: $\vec{a}(-5; -3)$.