Страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случаи луча и прямой.

Случай луча

Луч — это часть прямой, которая ограничена с одной стороны точкой (называемой началом луча) и является бесконечной с другой. Например, на координатной прямой луч, выходящий из точки с координатой $a$ в положительном направлении, состоит из всех точек $x$, для которых выполняется условие $x \ge a$.

Понятие середины в геометрии обычно определяется для отрезка — фигуры, имеющей конечную длину и два конца. Середина отрезка — это точка, равноудаленная от его концов. У луча есть только одна конечная точка — его начало. Если выбрать на луче любую точку $M$, она разделит его на две части: отрезок (от начала луча до точки $M$) конечной длины и другой луч (начинающийся в точке $M$) бесконечной длины. Поскольку невозможно разделить бесконечную фигуру на две равные части, понятие середины для луча не имеет смысла.

Ответ: у луча нет середины.

Случай прямой

Прямая — это линия, которая бесконечна в обе стороны и не имеет ни начала, ни конца. На координатной оси она соответствует множеству всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Поскольку у прямой нет концов, к ней неприменимо определение середины как точки, равноудаленной от этих концов. Любая точка $P$, взятая на прямой, делит ее на два луча, направленных в противоположные стороны. Оба этих луча имеют бесконечную длину, и поэтому невозможно найти точку, которая бы делила прямую на две равные части.

С точки зрения симметрии, у отрезка есть уникальный центр симметрии — его середина. У прямой же любая ее точка является центром симметрии (поворот на $180^\circ$ вокруг любой точки прямой отображает прямую на себя). Это означает, что ни одна точка не выделяется среди других, чтобы называться серединой.

Ответ: у прямой нет середины.

1. Что называется параллельным переносом?

2. Сохраняет ли параллельный перенос расстояние между точками?

3. Куда при параллельном переносе переходят отрезок, луч, прямая?

4. Сохраняет ли параллельный перенос величины углов?

1. Что называется параллельным переносом?

Параллельным переносом фигуры называется такое преобразование, при котором все точки этой фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Более формально, параллельный перенос на плоскости задается вектором $\vec{a}$. При этом каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$, такую что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y)$, то координаты точки $M'$ вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$, полученных в результате одного и того же параллельного переноса, векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны.
Ответ: Параллельный перенос – это преобразование плоскости, при котором каждая точка $(x,y)$ переходит в точку $(x+a_x, y+a_y)$, где $(a_x, a_y)$ – это координаты вектора переноса.

2. Сохраняет ли параллельный перенос расстояние между точками?

Да, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Это означает, что параллельный перенос является движением (изометрией).
Докажем это. Пусть есть две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, и параллельный перенос задан вектором $\vec{a}=(a_x, a_y)$. Точки $A$ и $B$ перейдут в точки $A'(x_1+a_x, y_1+a_y)$ и $B'(x_2+a_x, y_2+a_y)$.
Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ равен:
$|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Найдем квадрат расстояния между их образами $A'$ и $B'$:
$|A'B'|^2 = ((x_2+a_x) - (x_1+a_x))^2 + ((y_2+a_y) - (y_1+a_y))^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Так как $|A'B'|^2 = |AB|^2$, то и расстояния $|A'B'|$ и $|AB|$ равны. Таким образом, расстояние между точками сохраняется.
Ответ: Да, сохраняет. Параллельный перенос является движением.

3. Куда при параллельном переносе переходят отрезок, луч, прямая?

Поскольку параллельный перенос является движением, он преобразует простейшие геометрические фигуры следующим образом:
- Отрезок переходит в равный ему отрезок. Если отрезок $AB$ переходит в отрезок $A'B'$, то $|AB| = |A'B'|$. Кроме того, отрезок $A'B'$ будет параллелен отрезку $AB$ (или лежать на той же прямой, если вектор переноса коллинеарен отрезку).
- Луч переходит в луч. Образ луча будет сонаправлен исходному лучу и параллелен ему (или лежать на той же прямой).
- Прямая переходит в прямую. Новая прямая будет параллельна исходной прямой. В частном случае, если вектор переноса параллелен прямой, то прямая переходит сама в себя.
Ответ: Отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок, луч — в сонаправленный и параллельный ему луч, а прямая — в параллельную ей прямую (или в саму себя).

4. Сохраняет ли параллельный перенос величины углов?

Да, параллельный перенос сохраняет величины углов. Это следует из того, что параллельный перенос является движением. Любое движение сохраняет углы.
Рассмотрим угол $\angle BAC$. При параллельном переносе его вершина $A$ перейдет в точку $A'$, а стороны, которые являются лучами $AB$ и $AC$, перейдут в сонаправленные и параллельные им лучи $A'B'$ и $A'C'$. Угол между двумя парами параллельных и сонаправленных лучей равен исходному, то есть $\angle B'A'C' = \angle BAC$.
Также это можно доказать, рассмотрев произвольный треугольник $\triangle ABC$. Так как параллельный перенос сохраняет расстояния (вопрос 2), то стороны треугольника $\triangle ABC$ будут равны соответствующим сторонам его образа $\triangle A'B'C'$. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов.
Ответ: Да, сохраняет, так как параллельный перенос является движением.

1. Изобразите точку $A'$, полученную из точки $A$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.6).

Рис. 8.6

1. Параллельный перенос точки $A$ на вектор $\vec{a}$ означает, что необходимо сместить точку $A$ в том же направлении и на то же расстояние, которые заданы вектором $\vec{a}$. В результате этого преобразования мы получим точку $A'$ такую, что вектор $\vec{AA'}$ будет равен вектору $\vec{a}$ ($ \vec{AA'} = \vec{a} $).

Для построения точки $A'$ выполним следующие действия:

1. Определим компоненты вектора переноса $\vec{a}$.
Посмотрим на вектор $\vec{a}$ на клетчатой плоскости. Его начало смещено относительно его конца на 1 клетку вправо (положительное направление оси x) и на 3 клетки вниз (отрицательное направление оси y). Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ равны $(1, -3)$.

2. Выполним перенос точки $A$.
Чтобы найти положение точки $A'$, нужно сместить точку $A$ на 1 клетку вправо и на 3 клетки вниз, в соответствии с компонентами вектора $\vec{a}$.

Ниже представлен рисунок с результатом построения:

На рисунке точка $A'$ получена смещением точки $A$ на вектор, равный вектору $\vec{a}$.

Ответ: Изображение точки $A'$ получено путем смещения точки $A$ на 1 клетку вправо и 3 клетки вниз. Конечное положение точки $A'$ показано на рисунке выше.