Страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Напишите уравнение окружности, полученной параллельным переносом окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ на вектор $\vec{a}(k; l)$.

Исходное уравнение окружности дано в каноническом виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Из этого уравнения следует, что центр окружности находится в точке $C_0(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$.

Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, при параллельном переносе окружность отображается в окружность того же радиуса. Радиус новой окружности будет также равен $R$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(k; l)$ изменяется положение центра окружности. Каждая точка $(x, y)$ на плоскости, включая центр, смещается в новую точку $(x', y')$, координаты которой вычисляются по формулам:
$x' = x + k$
$y' = y + l$

Найдем координаты нового центра окружности $C_1(x_1, y_1)$, применив эти формулы к координатам исходного центра $C_0(x_0, y_0)$:
$x_1 = x_0 + k$
$y_1 = y_0 + l$
Таким образом, новый центр окружности — это точка $C_1(x_0 + k, y_0 + l)$.

Теперь запишем уравнение новой окружности, используя координаты ее нового центра $C_1$ и радиус $R$. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_1, y_1)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = R^2$

Подставим в это уравнение найденные координаты $x_1 = x_0 + k$ и $y_1 = y_0 + l$:
$(x - (x_0 + k))^2 + (y - (y_0 + l))^2 = R^2$

Это и есть искомое уравнение окружности. Его также можно записать, раскрыв внутренние скобки: $(x - x_0 - k)^2 + (y - y_0 - l)^2 = R^2$.

Ответ: $(x - (x_0 + k))^2 + (y - (y_0 + l))^2 = R^2$.

18. Напишите уравнение окружности, полученной из окружности, заданной уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$, параллельным переносом на вектор:

а) $\vec{a}(-1; 0)$;

б) $\vec{a}(1; -2).

Сначала найдем центр и радиус исходной окружности. Для этого приведем ее уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ к каноническому виду $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ – координаты центра, а $r$ – радиус.Выделим полный квадрат для членов, содержащих $x$:$x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 - 3 = 0$$(x + 1)^2 + y^2 - 4 = 0$$(x + 1)^2 + y^2 = 4$Таким образом, исходная окружность имеет центр в точке $C_0(-1; 0)$ и радиус $r = \sqrt{4} = 2$.При параллельном переносе радиус окружности не изменяется, а смещается только ее центр. Координаты нового центра $(x', y')$ находятся путем сложения координат исходного центра $(x_0, y_0)$ и соответствующих координат вектора переноса $(a_x, a_y)$.

а) Перенос на вектор $\vec{a}(-1; 0)$.Найдем координаты нового центра $C_a(x_a; y_a)$, прибавив к координатам центра $C_0(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{a}(-1; 0)$:$x_a = -1 + (-1) = -2$$y_a = 0 + 0 = 0$Новый центр находится в точке $C_a(-2; 0)$. Радиус остается равным $r=2$.Уравнение новой окружности:$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$$(x + 2)^2 + y^2 = 4$
Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 4$.

б) Перенос на вектор $\vec{a}(1; -2)$.Найдем координаты нового центра $C_б(x_б; y_б)$, прибавив к координатам центра $C_0(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{a}(1; -2)$:$x_б = -1 + 1 = 0$$y_б = 0 + (-2) = -2$Новый центр находится в точке $C_б(0; -2)$. Радиус остается равным $r=2$.Уравнение новой окружности:$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$$x^2 + (y + 2)^2 = 4$
Ответ: $x^2 + (y + 2)^2 = 4$.

19. Напишите уравнение прямой, полученной параллельным переносом прямой $ax + by + c = 0$ на вектор $\vec{m}(k; l)$.

Пусть дана исходная прямая $L_1$ с уравнением $ax + by + c = 0$.Возьмем произвольную точку $M(x_0, y_0)$, которая лежит на этой прямой. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению:$ax_0 + by_0 + c = 0$.

Параллельный перенос на вектор $\vec{m}(k; l)$ перемещает каждую точку $(x, y)$ в новую точку $(x', y')$. Формулы параллельного переноса имеют вид:$x' = x + k$$y' = y + l$

Применим этот перенос к нашей точке $M(x_0, y_0)$. Она перейдет в новую точку $M'(x', y')$, которая будет лежать на искомой прямой $L_2$. Координаты точки $M'$ будут:$x' = x_0 + k$$y' = y_0 + l$

Чтобы найти уравнение новой прямой $L_2$, нам нужно найти зависимость между координатами $x'$ и $y'$ для любой точки $M'$ на этой прямой. Для этого выразим координаты исходной точки $(x_0, y_0)$ через координаты новой точки $(x', y')$:$x_0 = x' - k$$y_0 = y' - l$

Теперь подставим эти выражения для $x_0$ и $y_0$ в уравнение исходной прямой, которому они удовлетворяют:$a(x' - k) + b(y' - l) + c = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:$ax' - ak + by' - bl + c = 0$$ax' + by' + (c - ak - bl) = 0$

Это уравнение связывает координаты $x'$ и $y'$ любой точки, полученной в результате параллельного переноса. Поскольку это верно для любой точки на новой прямой, мы можем записать общее уравнение этой прямой, заменив временные обозначения $x'$ и $y'$ на стандартные $x$ и $y$:$ax + by + c - ak - bl = 0$

Заметим, что коэффициенты при $x$ и $y$ остались прежними ($a$ и $b$), что и следовало ожидать, так как при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую, а значит их нормальные векторы $\vec{n}(a, b)$ совпадают. Изменился только свободный член.

Ответ: $ax + by - ak - bl + c = 0$

20. Напишите уравнение прямой, полученной из прямой, заданной уравнением $x + y - 1 = 0$, параллельным переносом на вектор:

а) $\vec{a}(2; -3)$;

б) $\vec{a}(2; -2)$.

Для нахождения уравнения прямой, полученной в результате параллельного переноса, используются формулы преобразования координат. Если точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(m, n)$, то новые координаты выражаются через старые следующим образом: $x' = x + m$ и $y' = y + n$.

Чтобы найти уравнение новой (сдвинутой) прямой, мы выражаем старые координаты через новые: $x = x' - m$ и $y = y' - n$. Затем подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой.

Исходное уравнение прямой: $x + y - 1 = 0$.

а) Выполняем параллельный перенос на вектор $\vec{a}(2; -3)$.
В данном случае $m=2$ и $n=-3$. Формулы для замены координат будут следующими: $x = x' - 2$ и $y = y' - (-3) = y' + 3$.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой: $(x' - 2) + (y' + 3) - 1 = 0$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $x' - 2 + y' + 3 - 1 = 0$, что упрощается до $x' + y' = 0$.
Опуская штрихи в обозначении координат, получаем искомое уравнение новой прямой.
Ответ: $x + y = 0$

б) Выполняем параллельный перенос на вектор $\vec{a}(2; -2)$.
В данном случае $m=2$ и $n=-2$. Формулы для замены координат: $x = x' - 2$ и $y = y' - (-2) = y' + 2$.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой: $(x' - 2) + (y' + 2) - 1 = 0$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $x' - 2 + y' + 2 - 1 = 0$, что упрощается до $x' + y' - 1 = 0$.
Опуская штрихи, получаем искомое уравнение. Оно совпадает с исходным. Это происходит потому, что вектор переноса $\vec{a}(2; -2)$ параллелен данной прямой (ее направляющий вектор, например, $\vec{s}(1; -1)$, коллинеарен вектору $\vec{a}$).
Ответ: $x + y - 1 = 0$

c) $(x_1, y_1)$, c) $(x_2, y_2)$.

21. Докажите, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую или сама в себя.

Пусть дана прямая $l$ и параллельный перенос, определяемый вектором $\vec{a}$.

Выберем на прямой $l$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ они перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению параллельного переноса, $\vec{AA'} = \vec{a}$ и $\vec{BB'} = \vec{a}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$. Мы можем выразить $\vec{A'B'}$ через другие векторы, используя правило сложения векторов: $\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$. Подставим известные соотношения: $\vec{A'B'} = -\vec{AA'} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{a} + \vec{AB} + \vec{a} = \vec{AB}$.

Равенство векторов $\vec{AB} = \vec{A'B'}$ означает, что они коллинеарны и равны по длине. Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $A'$ и $B'$, совпадает с направляющим вектором прямой $l$. Пусть $l'$ — это прямая, проходящая через точки $A'$ и $B'$. Тогда прямая $l'$ параллельна прямой $l$ или совпадает с ней.

Теперь докажем, что образом всей прямой $l$ является прямая $l'$. Возьмем любую точку $C$ на прямой $l$. Так как точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, вектор $\vec{AC}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$, то есть существует такое число $k$, что $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$.

При параллельном переносе точка $C$ переходит в точку $C'$, для которой $\vec{CC'} = \vec{a}$. Рассмотрим вектор $\vec{A'C'}$. Выразим его следующим образом: $\vec{A'C'} = \vec{A'A} + \vec{AC} + \vec{CC'} = -\vec{a} + \vec{AC} + \vec{a} = \vec{AC}$.

Используя полученные равенства, имеем: $\vec{A'C'} = \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} = k \cdot \vec{A'B'}$.

Из соотношения $\vec{A'C'} = k \cdot \vec{A'B'}$ следует, что точка $C'$ лежит на прямой $A'B'$, то есть на прямой $l'$. Поскольку $C$ — это произвольная точка прямой $l$, любая точка прямой $l$ переходит в некоторую точку прямой $l'$. Можно также показать, что любая точка прямой $l'$ является образом некоторой точки прямой $l$. Таким образом, образом прямой $l$ при параллельном переносе является прямая $l'$.

Далее рассмотрим два возможных случая в зависимости от направления вектора переноса $\vec{a}$:

1. Вектор переноса $\vec{a}$ не коллинеарен прямой $l$. В этом случае точка $A'$ (образ точки $A$) не лежит на прямой $l$, так как вектор смещения $\vec{AA'} = \vec{a}$ не параллелен прямой $l$. Следовательно, прямые $l$ и $l'$ различны. Так как мы уже установили, что они либо параллельны, либо совпадают, то в данном случае они могут быть только параллельны.

2. Вектор переноса $\vec{a}$ коллинеарен прямой $l$. В этом случае вектор смещения $\vec{AA'} = \vec{a}$ параллелен прямой $l$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $l$, то и точка $A'$, полученная смещением точки $A$ вдоль направления, параллельного прямой $l$, также будет принадлежать прямой $l$. Таким образом, прямые $l$ и $l'$ имеют общую точку $A'$ и при этом параллельны. Это возможно только если они совпадают, то есть $l' = l$. В этом случае прямая переходит сама в себя.

Таким образом, доказано, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую или сама в себя.

Ответ: Утверждение доказано. При параллельном переносе прямая переходит в прямую. Если вектор переноса не коллинеарен исходной прямой, то образом является параллельная ей прямая. Если вектор переноса коллинеарен исходной прямой, то прямая переходит в саму себя.

22. Повторите понятия перпендикулярности прямых и серединного перпендикуляра.

Перпендикулярность прямых
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Если прямые a и b перпендикулярны, это записывается с помощью специального знака: $a \perp b$. Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Если один из этих углов прямой, то все остальные три также будут прямыми.
Ключевая теорема гласит: через любую точку плоскости, как лежащую на данной прямой, так и вне её, можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную данной.
Понятие перпендикулярности распространяется и на отрезки и лучи: они считаются перпендикулярными, если лежат на перпендикулярных прямых.
Ответ: Перпендикулярность прямых — это их взаимное расположение, при котором угол пересечения составляет $90^\circ$.

Серединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Для того чтобы прямая m была серединным перпендикуляром к отрезку AB, необходимо выполнение двух условий:
1. Прямая m должна быть перпендикулярна прямой, содержащей отрезок AB ($m \perp AB$).
2. Прямая m должна проходить через точку M, которая является серединой отрезка AB (то есть, $AM = MB$).
Основное свойство серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Верна и обратная теорема: любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Таким образом, серединный перпендикуляр — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов данного отрезка.
В геометрии треугольника серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

23. Нарисуйте какую-нибудь прямую $c$ и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы прямая $c$ была серединным перпендикуляром к отрезкам $AA'$ и $BB'$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Нарисуйте какую-нибудь прямую c и какой-нибудь отрезок AB.

На плоскости произвольным образом начертим прямую, обозначив ее c. Также начертим отрезок, концы которого обозначим A и B. Взаимное расположение прямой и отрезка может быть любым: отрезок может пересекать прямую, быть параллельным ей или находиться в общем положении.

Изобразите точки A' и B' так, чтобы прямая c была серединным перпендикуляром к отрезкам AA' и BB'.

Данное условие означает, что точки A' и B' должны быть симметричны точкам A и B относительно прямой c. Построение выполняется в несколько шагов. Сначала для точки A: через нее проводится прямая, перпендикулярная прямой c. Пусть $H_A$ – точка их пересечения. На этой перпендикулярной прямой откладывается точка A' по другую сторону от прямой c так, что $AH_A = A'H_A$. Затем аналогичные действия выполняются для точки B: через нее проводится перпендикуляр к прямой c (пусть точка пересечения будет $H_B$), и на нем находится точка B' так, что $BH_B = B'H_B$. Таким образом, прямая c по построению является серединным перпендикуляром для отрезков AA' и BB'.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Преобразование, которое отображает точку в симметричную ей относительно прямой, называется осевой симметрией. Отрезок A'B' является образом отрезка AB при осевой симметрии относительно прямой c. Основное свойство осевой симметрии заключается в том, что она является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Из этого следует главный вывод: длина отрезка A'B' равна длине отрезка AB. Математически это записывается как $AB = A'B'$.

Кроме равенства длин, можно отметить и другие свойства, зависящие от взаимного расположения отрезка AB и прямой c:

1. Если отрезок AB пересекает прямую c в некоторой точке P, то и отрезок A'B' будет проходить через ту же точку P.

2. Если отрезок AB параллелен прямой c, то и отрезок A'B' будет параллелен ему (и прямой c). В этом случае четырехугольник ABB'A' является прямоугольником.

3. Если отрезок AB перпендикулярен прямой c, то все четыре точки A, B, A', B' лежат на одной прямой.

Ответ: Длина отрезка A'B' равна длине отрезка AB (то есть, $A'B' = AB$). Отрезок A'B' является симметричным отражением отрезка AB относительно прямой c.