Номер 19, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Напишите уравнение прямой, полученной параллельным переносом прямой $ax + by + c = 0$ на вектор $\vec{m}(k; l)$.

Пусть дана исходная прямая $L_1$ с уравнением $ax + by + c = 0$.Возьмем произвольную точку $M(x_0, y_0)$, которая лежит на этой прямой. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению:$ax_0 + by_0 + c = 0$.

Параллельный перенос на вектор $\vec{m}(k; l)$ перемещает каждую точку $(x, y)$ в новую точку $(x', y')$. Формулы параллельного переноса имеют вид:$x' = x + k$$y' = y + l$

Применим этот перенос к нашей точке $M(x_0, y_0)$. Она перейдет в новую точку $M'(x', y')$, которая будет лежать на искомой прямой $L_2$. Координаты точки $M'$ будут:$x' = x_0 + k$$y' = y_0 + l$

Чтобы найти уравнение новой прямой $L_2$, нам нужно найти зависимость между координатами $x'$ и $y'$ для любой точки $M'$ на этой прямой. Для этого выразим координаты исходной точки $(x_0, y_0)$ через координаты новой точки $(x', y')$:$x_0 = x' - k$$y_0 = y' - l$

Теперь подставим эти выражения для $x_0$ и $y_0$ в уравнение исходной прямой, которому они удовлетворяют:$a(x' - k) + b(y' - l) + c = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:$ax' - ak + by' - bl + c = 0$$ax' + by' + (c - ak - bl) = 0$

Это уравнение связывает координаты $x'$ и $y'$ любой точки, полученной в результате параллельного переноса. Поскольку это верно для любой точки на новой прямой, мы можем записать общее уравнение этой прямой, заменив временные обозначения $x'$ и $y'$ на стандартные $x$ и $y$:$ax + by + c - ak - bl = 0$

Заметим, что коэффициенты при $x$ и $y$ остались прежними ($a$ и $b$), что и следовало ожидать, так как при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую, а значит их нормальные векторы $\vec{n}(a, b)$ совпадают. Изменился только свободный член.

Ответ: $ax + by - ak - bl + c = 0$