Номер 21, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

c) $(x_1, y_1)$, c) $(x_2, y_2)$.

21. Докажите, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую или сама в себя.

Пусть дана прямая $l$ и параллельный перенос, определяемый вектором $\vec{a}$.

Выберем на прямой $l$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ они перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению параллельного переноса, $\vec{AA'} = \vec{a}$ и $\vec{BB'} = \vec{a}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$. Мы можем выразить $\vec{A'B'}$ через другие векторы, используя правило сложения векторов: $\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$. Подставим известные соотношения: $\vec{A'B'} = -\vec{AA'} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{a} + \vec{AB} + \vec{a} = \vec{AB}$.

Равенство векторов $\vec{AB} = \vec{A'B'}$ означает, что они коллинеарны и равны по длине. Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $A'$ и $B'$, совпадает с направляющим вектором прямой $l$. Пусть $l'$ — это прямая, проходящая через точки $A'$ и $B'$. Тогда прямая $l'$ параллельна прямой $l$ или совпадает с ней.

Теперь докажем, что образом всей прямой $l$ является прямая $l'$. Возьмем любую точку $C$ на прямой $l$. Так как точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, вектор $\vec{AC}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$, то есть существует такое число $k$, что $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$.

При параллельном переносе точка $C$ переходит в точку $C'$, для которой $\vec{CC'} = \vec{a}$. Рассмотрим вектор $\vec{A'C'}$. Выразим его следующим образом: $\vec{A'C'} = \vec{A'A} + \vec{AC} + \vec{CC'} = -\vec{a} + \vec{AC} + \vec{a} = \vec{AC}$.

Используя полученные равенства, имеем: $\vec{A'C'} = \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} = k \cdot \vec{A'B'}$.

Из соотношения $\vec{A'C'} = k \cdot \vec{A'B'}$ следует, что точка $C'$ лежит на прямой $A'B'$, то есть на прямой $l'$. Поскольку $C$ — это произвольная точка прямой $l$, любая точка прямой $l$ переходит в некоторую точку прямой $l'$. Можно также показать, что любая точка прямой $l'$ является образом некоторой точки прямой $l$. Таким образом, образом прямой $l$ при параллельном переносе является прямая $l'$.

Далее рассмотрим два возможных случая в зависимости от направления вектора переноса $\vec{a}$:

1. Вектор переноса $\vec{a}$ не коллинеарен прямой $l$. В этом случае точка $A'$ (образ точки $A$) не лежит на прямой $l$, так как вектор смещения $\vec{AA'} = \vec{a}$ не параллелен прямой $l$. Следовательно, прямые $l$ и $l'$ различны. Так как мы уже установили, что они либо параллельны, либо совпадают, то в данном случае они могут быть только параллельны.

2. Вектор переноса $\vec{a}$ коллинеарен прямой $l$. В этом случае вектор смещения $\vec{AA'} = \vec{a}$ параллелен прямой $l$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $l$, то и точка $A'$, полученная смещением точки $A$ вдоль направления, параллельного прямой $l$, также будет принадлежать прямой $l$. Таким образом, прямые $l$ и $l'$ имеют общую точку $A'$ и при этом параллельны. Это возможно только если они совпадают, то есть $l' = l$. В этом случае прямая переходит сама в себя.

Таким образом, доказано, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую или сама в себя.

Ответ: Утверждение доказано. При параллельном переносе прямая переходит в прямую. Если вектор переноса не коллинеарен исходной прямой, то образом является параллельная ей прямая. Если вектор переноса коллинеарен исходной прямой, то прямая переходит в саму себя.