Номер 14, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: геометрический и аналитический.

Способ 1: Геометрическое доказательство

По определению, окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Пусть у нас есть окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, расстояние от центра $O$ до этой точки постоянно и равно радиусу: $|OM| = R$.

Рассмотрим параллельный перенос, который задается некоторым вектором $\vec{a}$. При этом переносе каждая точка плоскости смещается на вектор $\vec{a}$. Пусть центр исходной окружности $O$ переходит в точку $O'$, а произвольная точка $M$ на окружности переходит в точку $M'$.

Параллельный перенос является движением (изометрией). Основное свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между образами точек $M'$ и $O'$ будет равно расстоянию между их прообразами, точками $M$ и $O$:

$|M'O'| = |MO|$

Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности, мы знаем, что $|MO| = R$. Следовательно, для любой точки $M'$, полученной в результате переноса, выполняется условие:

$|M'O'| = R$

Это означает, что все точки $M'$, являющиеся образами точек исходной окружности, лежат на расстоянии $R$ от точки $O'$. Множество всех таких точек по определению является окружностью с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.

Таким образом, параллельный перенос переводит окружность в окружность с тем же радиусом.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку параллельный перенос является движением и сохраняет расстояния, любая точка на исходной окружности, находящаяся на расстоянии $R$ от центра $O$, переходит в точку, находящуюся на том же расстоянии $R$ от нового центра $O'$, что и определяет окружность того же радиуса.

Способ 2: Аналитическое (координатное) доказательство

Пусть в декартовой системе координат задана окружность с центром в точке $O(x_0, y_0)$ и радиусом $R$. Уравнение этой окружности имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{a} = (a, b)$. При таком переносе любая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$, которые определяются формулами:

$x' = x + a$
$y' = y + b$

Чтобы найти уравнение фигуры, в которую переходит исходная окружность, выразим старые координаты $(x, y)$ через новые $(x', y')$:

$x = x' - a$
$y = y' - b$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной окружности:

$((x' - a) - x_0)^2 + ((y' - b) - y_0)^2 = R^2$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x' - (x_0 + a))^2 + (y' - (y_0 + b))^2 = R^2$

Мы получили уравнение, которое описывает множество всех точек $(x', y')$, являющихся образами точек исходной окружности. Это уравнение является каноническим уравнением окружности.

Центр новой окружности имеет координаты $(x_0 + a, y_0 + b)$, что соответствует образу центра исходной окружности $O(x_0, y_0)$ при переносе на вектор $(a, b)$.

Квадрат радиуса новой окружности равен $R^2$, следовательно, ее радиус равен $R$.

Таким образом, мы доказали, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение образа окружности, полученное путем подстановки формул параллельного переноса в исходное уравнение, является уравнением окружности с тем же радиусом $R$.