Номер 17, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Напишите уравнение окружности, полученной параллельным переносом окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ на вектор $\vec{a}(k; l)$.

Исходное уравнение окружности дано в каноническом виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Из этого уравнения следует, что центр окружности находится в точке $C_0(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$.

Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, при параллельном переносе окружность отображается в окружность того же радиуса. Радиус новой окружности будет также равен $R$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(k; l)$ изменяется положение центра окружности. Каждая точка $(x, y)$ на плоскости, включая центр, смещается в новую точку $(x', y')$, координаты которой вычисляются по формулам:
$x' = x + k$
$y' = y + l$

Найдем координаты нового центра окружности $C_1(x_1, y_1)$, применив эти формулы к координатам исходного центра $C_0(x_0, y_0)$:
$x_1 = x_0 + k$
$y_1 = y_0 + l$
Таким образом, новый центр окружности — это точка $C_1(x_0 + k, y_0 + l)$.

Теперь запишем уравнение новой окружности, используя координаты ее нового центра $C_1$ и радиус $R$. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_1, y_1)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = R^2$

Подставим в это уравнение найденные координаты $x_1 = x_0 + k$ и $y_1 = y_0 + l$:
$(x - (x_0 + k))^2 + (y - (y_0 + l))^2 = R^2$

Это и есть искомое уравнение окружности. Его также можно записать, раскрыв внутренние скобки: $(x - x_0 - k)^2 + (y - y_0 - l)^2 = R^2$.

Ответ: $(x - (x_0 + k))^2 + (y - (y_0 + l))^2 = R^2$.