Номер 20, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Напишите уравнение прямой, полученной из прямой, заданной уравнением $x + y - 1 = 0$, параллельным переносом на вектор:

а) $\vec{a}(2; -3)$;

б) $\vec{a}(2; -2)$.

Для нахождения уравнения прямой, полученной в результате параллельного переноса, используются формулы преобразования координат. Если точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(m, n)$, то новые координаты выражаются через старые следующим образом: $x' = x + m$ и $y' = y + n$.

Чтобы найти уравнение новой (сдвинутой) прямой, мы выражаем старые координаты через новые: $x = x' - m$ и $y = y' - n$. Затем подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой.

Исходное уравнение прямой: $x + y - 1 = 0$.

а) Выполняем параллельный перенос на вектор $\vec{a}(2; -3)$.
В данном случае $m=2$ и $n=-3$. Формулы для замены координат будут следующими: $x = x' - 2$ и $y = y' - (-3) = y' + 3$.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой: $(x' - 2) + (y' + 3) - 1 = 0$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $x' - 2 + y' + 3 - 1 = 0$, что упрощается до $x' + y' = 0$.
Опуская штрихи в обозначении координат, получаем искомое уравнение новой прямой.
Ответ: $x + y = 0$

б) Выполняем параллельный перенос на вектор $\vec{a}(2; -2)$.
В данном случае $m=2$ и $n=-2$. Формулы для замены координат: $x = x' - 2$ и $y = y' - (-2) = y' + 2$.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение прямой: $(x' - 2) + (y' + 2) - 1 = 0$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $x' - 2 + y' + 2 - 1 = 0$, что упрощается до $x' + y' - 1 = 0$.
Опуская штрихи, получаем искомое уравнение. Оно совпадает с исходным. Это происходит потому, что вектор переноса $\vec{a}(2; -2)$ параллелен данной прямой (ее направляющий вектор, например, $\vec{s}(1; -1)$, коллинеарен вектору $\vec{a}$).
Ответ: $x + y - 1 = 0$