Номер 2, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

Осевая симметрия относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Прямая называется инвариантной относительно преобразования (переходит в себя), если образ любой ее точки при этом преобразовании также принадлежит исходной прямой. Рассмотрим два случая, когда прямая переходит в себя при осевой симметрии.

1. Прямая совпадает с осью симметрии.

Пусть прямая $a$ является осью симметрии. По определению, любая точка, лежащая на оси симметрии, при данном преобразовании остается на месте (является неподвижной). Поскольку все точки прямой $a$ переходят сами в себя, то и вся прямая $a$ отображается на себя. В этом случае каждая точка прямой является неподвижной.

Ответ: Прямая, являющаяся осью симметрии.

2. Прямая перпендикулярна оси симметрии.

Пусть прямая $m$ перпендикулярна оси симметрии $l$ и пересекает ее в точке $O$.

1. Точка $O$ лежит на оси симметрии $l$, поэтому она является неподвижной, то есть отображается сама на себя. Таким образом, образ точки $O$ принадлежит прямой $m$.

2. Возьмем на прямой $m$ любую другую точку $A$, не совпадающую с $O$. Ее образ $A'$ при симметрии относительно оси $l$ должен лежать на прямой, проходящей через $A$ и перпендикулярной оси $l$. Но по нашему условию, прямая $m$ как раз и проходит через точку $A$ и перпендикулярна оси $l$. Следовательно, точка $A'$ также лежит на прямой $m$.

Поскольку образы двух различных точек прямой $m$ (точек $O$ и $A$) снова лежат на прямой $m$, то и вся прямая $m$ при осевой симметрии переходит в себя.

Ответ: Любая прямая, перпендикулярная оси симметрии.

Таким образом, существует два вида прямых, которые переходят в себя при осевой симметрии: сама ось симметрии и все прямые, которые ей перпендикулярны.