Номер 6, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Изобразите отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $c$ (рис. 9.5).

а)

б)

в)

Рис. 9.5

Для построения отрезка, симметричного данному отрезку $AB$ относительно прямой $c$, необходимо найти точки $A'$ и $B'$, симметричные концам отрезка (точкам $A$ и $B$) относительно этой прямой. Искомый отрезок будет $A'B'$.

Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно прямой $c$, если прямая $c$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это означает, что отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $c$ и делится ею пополам. Для построения на клетчатой бумаге удобно считать клетки.

а) 1. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$. Прямая $c$ — горизонтальная. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $c$. Это будет вертикальная линия. Точка $A$ находится на 1 клетку ниже прямой $c$. Следовательно, симметричная ей точка $A'$ будет находиться на том же перпендикуляре (на той же вертикальной линии), но на 1 клетку выше прямой $c$.

2. Аналогично найдем точку $B'$, симметричную точке $B$. Точка $B$ находится на 1 клетку выше прямой $c$. Следовательно, симметричная ей точка $B'$ будет находиться на той же вертикальной линии, проходящей через $B$, но на 1 клетку ниже прямой $c$.

3. Соединим точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ — искомый.

Ответ: Построение симметричного отрезка $A'B'$ показано на рисунке красным пунктиром.

б) 1. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$. Прямая $c$ является наклонной (проходит по диагоналям клеток). Перпендикуляр к ней будет проходить по другим диагоналям. Чтобы из точки $A$ попасть на прямую $c$, двигаясь по перпендикуляру, нужно сместиться на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз. Чтобы найти симметричную точку $A'$, нужно от точки пересечения с прямой $c$ сместиться еще на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз.

2. Аналогично найдем точку $B'$, симметричную точке $B$. Чтобы из точки $B$ попасть на прямую $c$, двигаясь по перпендикуляру, нужно сместиться на 0.5 клетки влево и 0.5 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $B'$, нужно от точки пересечения с прямой $c$ сместиться еще на 0.5 клетки влево и 0.5 клетки вверх.

3. Соединим точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ — искомый.

Ответ: Построение симметричного отрезка $A'B'$ показано на рисунке красным пунктиром.

в) 1. В этом случае отрезок $AB$ перпендикулярен оси симметрии $c$. Точка их пересечения является серединой для отрезка $AB$ (в видимой части).

2. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$. Проведем перпендикуляр из $A$ к прямой $c$. Этот перпендикуляр лежит на той же прямой, что и сам отрезок $AB$. Измерим расстояние от точки $A$ до прямой $c$ вдоль этого перпендикуляра. Симметричная точка $A'$ будет лежать на том же расстоянии, но с другой стороны от прямой $c$. Мы видим, что эта точка в точности совпадает с точкой $B$. Таким образом, $A' = B$.

3. Аналогично, точка, симметричная точке $B$, совпадет с точкой $A$. Таким образом, $B' = A$.

4. Искомый отрезок $A'B'$ соединяет точку $B$ и точку $A$, то есть он совпадает с исходным отрезком $AB$.

Ответ: Отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $c$, совпадает с самим отрезком $AB$.