Номер 7, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $d$ (рис. 9.6).

а)

б)

в)

Рис. 9.6

Для того чтобы изобразить треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d, необходимо построить точки A', B', C', которые симметричны вершинам A, B, C исходного треугольника относительно этой прямой. Затем эти точки нужно соединить отрезками, чтобы получить искомый треугольник A'B'C'.

Точка M' называется симметричной точке M относительно прямой d (оси симметрии), если прямая d перпендикулярна отрезку MM' и делит его пополам.

а)

В данном случае прямая d является горизонтальной линией сетки. Это упрощает построение.

1. Чтобы найти точку A', симметричную точке A, нужно измерить расстояние от точки A до прямой d по перпендикуляру (в данном случае, по вертикальной линии сетки) и отложить такое же расстояние по ту же сторону от прямой d. Точка A находится на 2 клетки ниже прямой d, следовательно, точка A' будет находиться на 2 клетки выше прямой d на той же вертикальной линии.

2. Точка B находится на 1 клетку ниже прямой d. Следовательно, симметричная ей точка B' будет находиться на 1 клетку выше прямой d на той же вертикальной линии.

3. Точка C находится на 1 клетку выше прямой d. Следовательно, симметричная ей точка C' будет находиться на 1 клетку ниже прямой d на той же вертикальной линии.

4. Соединив точки A', B' и C' отрезками, получаем искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Изображен треугольник A'B'C', симметричный треугольнику ABC. Если принять левый нижний угол видимой сетки за начало координат (0,0), то вершины исходного треугольника имеют координаты A(1,1), B(4,2), C(2,4), а прямая d задается уравнением $y=3$. Тогда вершины симметричного треугольника будут иметь координаты A'(1,5), B'(4,4), C'(2,2).

б)

В этом случае прямая d наклонена. Для построения симметричных точек нужно провести к ней перпендикуляры из вершин треугольника.

1. Определим наклон (угловой коэффициент) прямой d. Прямая проходит через узлы сетки так, что при смещении на 2 клетки вправо она опускается на 1 клетку вниз. Следовательно, ее угловой коэффициент $k_d = -1/2$.

2. Прямая, перпендикулярная прямой d, будет иметь угловой коэффициент $k_{\perp}$, такой что $k_d \cdot k_{\perp} = -1$. Отсюда $k_{\perp} = -1 / (-1/2) = 2$. Это означает, что перпендикулярная прямая на каждый 1 шаг вправо поднимается на 2 шага вверх.

3. Для построения точки A', симметричной точке A, проводим через A прямую с угловым коэффициентом 2. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой d. Затем откладываем на перпендикуляре в другую сторону от прямой d отрезок, равный расстоянию от A до точки пересечения. Так мы получаем точку A'.

4. Аналогичные построения выполняем для вершин B и C, чтобы найти симметричные им точки B' и C'.

5. Соединяем точки A', B', C' и получаем искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: В результате построения получается треугольник A'B'C'. Так как ось симметрии d не проходит под углом 45 градусов к осям сетки, вершины симметричного треугольника в общем случае не попадают в узлы сетки. Их положение определяется геометрическим построением, описанным выше. Вершина B' окажется за пределами изображенной сетки (внизу), а вершина C' окажется левее сетки.

в)

Прямая d снова является наклонной. Алгоритм построения аналогичен предыдущему пункту.

1. Определим угловой коэффициент прямой d. Прямая проходит через узлы сетки так, что при смещении на 5 клеток вправо она поднимается на 2 клетки вверх. Ее угловой коэффициент $k_d = 2/5$.

2. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$ найдем из условия перпендикулярности: $k_d \cdot k_{\perp} = -1$. Отсюда $k_{\perp} = -1 / (2/5) = -5/2$. Это означает, что перпендикулярная прямая на каждые 2 шага вправо опускается на 5 шагов вниз.

3. Для построения точки A', симметричной точке A, проводим через A прямую с угловым коэффициентом $-5/2$. Находим ее точку пересечения с прямой d и откладываем от точки пересечения отрезок, равный расстоянию от A до этой точки, по другую сторону от прямой d. Получаем точку A'.

4. Повторяем процедуру для вершин B и C, чтобы найти симметричные им точки B' и C'.

5. Соединяем точки A', B', C' и получаем искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Построенный треугольник A'B'C' является зеркальным отражением треугольника ABC. Вершины симметричного треугольника A'B'C' не попадают в узлы сетки. Вершина B' будет расположена ниже видимой части сетки. Вершины A' и C' будут расположены внутри области, охваченной сеткой.