Номер 14, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Сколько осей симметрии имеет правильный:

а) пятиугольник;

б) шестиугольник;

в) $n$-угольник?

а) пятиугольник

Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У правильного многоугольника количество осей симметрии равно количеству его сторон.
Для правильного пятиугольника, у которого число сторон $n=5$ (нечетное), каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Поскольку у пятиугольника 5 вершин, он имеет ровно 5 осей симметрии.

Ответ: 5.

б) шестиугольник

У правильного шестиугольника число сторон $n=6$ (четное). В случае многоугольника с четным числом сторон оси симметрии бывают двух типов:
1. Оси, проходящие через противоположные вершины. У шестиугольника 3 пары противоположных вершин, следовательно, 3 таких оси. Это можно рассчитать как $n/2 = 6/2 = 3$.
2. Оси, проходящие через середины противоположных сторон. У шестиугольника 3 пары противоположных сторон, следовательно, еще 3 таких оси. Это также можно рассчитать как $n/2 = 6/2 = 3$.
Общее количество осей симметрии равно сумме осей обоих типов: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

в) n-угольник

Для правильного $n$-угольника количество осей симметрии зависит от четности числа $n$.
1. Если $n$ — нечетное число. Каждая ось симметрии соединяет одну из $n$ вершин с серединой противоположной ей стороны. Таким образом, количество осей симметрии равно количеству вершин, то есть $n$.
2. Если $n$ — четное число. Оси симметрии делятся на два типа:
- Проходящие через пары противоположных вершин. Таких осей будет $n/2$.
- Проходящие через середины пар противоположных сторон. Таких осей будет также $n/2$.
Суммарное количество осей симметрии в этом случае равно $n/2 + n/2 = n$.
Следовательно, для любого правильного $n$-угольника число осей симметрии равно $n$.

Ответ: $n$.