Номер 20, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Напишите уравнение окружности, полученной осевой симметрией окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Исходное уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $C(x_0, y_0)$ и радиусом $R$. При осевой симметрии радиус окружности не изменяется, так как это преобразование сохраняет расстояния. Изменяется только положение центра окружности.

а) ось абсцисс
При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$), у каждой точки $(x, y)$ ее абсцисса $x$ сохраняется, а ордината $y$ меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$.Следовательно, центр исходной окружности $C(x_0, y_0)$ отобразится в точку $C'(x_0, -y_0)$.Радиус $R$ останется прежним.Новое уравнение окружности будет иметь вид:$(x - x_0)^2 + (y - (-y_0))^2 = R^2$Упрощая, получаем:$(x - x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$
Ответ: $(x - x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$

б) ось ординат
При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$), у каждой точки $(x, y)$ ее ордината $y$ сохраняется, а абсцисса $x$ меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$.Следовательно, центр исходной окружности $C(x_0, y_0)$ отобразится в точку $C''(-x_0, y_0)$.Радиус $R$ останется прежним.Новое уравнение окружности будет иметь вид:$(x - (-x_0))^2 + (y - y_0)^2 = R^2$Упрощая, получаем:$(x + x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$
Ответ: $(x + x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$