Номер 22, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Напишите уравнение прямой, полученной осевой симметрией прямой $ax + by + c = 0$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

а) оси абсцисс

Осевая симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox) — это преобразование, при котором для любой точки $(x, y)$ ее образом является точка $(x', y')$, где абсцисса остается той же, а ордината меняет знак.

Формулы преобразования координат:

$x' = x$

$y' = -y$

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной, нужно выразить старые координаты $(x, y)$ через новые $(x', y')$:

$x = x'$

$y = -y'$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение прямой $ax + by + c = 0$. Если точка $(x, y)$ принадлежала исходной прямой, то ее образ $(x', y')$ будет принадлежать новой прямой.

$a(x') + b(-y') + c = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$ax' - by' + c = 0$

Это и есть уравнение искомой прямой. Для стандартной формы записи заменим переменные $(x', y')$ на $(x, y)$.

Ответ: $ax - by + c = 0$

б) оси ординат

Осевая симметрия относительно оси ординат (оси Oy) — это преобразование, при котором для любой точки $(x, y)$ ее образом является точка $(x'', y'')$, где ордината остается той же, а абсцисса меняет знак.

Формулы преобразования координат:

$x'' = -x$

$y'' = y$

Выразим старые координаты $(x, y)$ через новые $(x'', y'')$:

$x = -x''$

$y = y''$

Подставим эти выражения в исходное уравнение прямой $ax + by + c = 0$:

$a(-x'') + b(y'') + c = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$-ax'' + by'' + c = 0$

Заменив $(x'', y'')$ на $(x, y)$, получаем искомое уравнение. Это уравнение также можно умножить на $-1$, чтобы получить эквивалентную форму $ax - by - c = 0$.

Ответ: $-ax + by + c = 0$