Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Национальный орнамент — один из самых древних видов изобразительной деятельности казахского народа. Он символизировал защиту от темных сил, приносил удачу в скотоводстве и хозяйственной деятельности. На рисунке 9.14 изображены некоторые казахские орнаменты. Определите, сколько осей симметрии имеют приведенные орнаменты и изобразите их.

а)

б)

в)

г)

Рис. 9.14

Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные части таким образом, что одна часть является точным зеркальным отражением другой. Чтобы определить количество осей симметрии для каждого орнамента и изобразить их, проанализируем каждую фигуру.

а) Данный орнамент имеет симметрию, характерную для квадрата. У него можно провести 4 оси симметрии: одну вертикальную, одну горизонтальную и две диагональные. Все оси пересекаются в центре фигуры.

Ответ: 4 оси симметрии.

б) Этот орнамент выполнен в виде цветка с пятью лепестками. Такая фигура имеет 5 осей симметрии. Каждая ось проходит через центр фигуры и вершину одного из пяти лепестков, деля его пополам.

Ответ: 5 осей симметрии.

в) Круговой орнамент состоит из шести одинаковых повторяющихся секторов. Такая структура определяет наличие 6 осей симметрии. Все оси проходят через центр круга. Три оси соединяют противоположные выступающие элементы узора, а три другие проходят ровно посередине между ними.

Ответ: 6 осей симметрии.

г) Этот круговой орнамент, несмотря на сложный узор, имеет симметрию 4-го порядка, так как его основной мотив повторяется четыре раза. Как и в случае с орнаментом а), у него есть 4 оси симметрии: вертикальная, горизонтальная и две диагональные.

Ответ: 4 оси симметрии.

20. Напишите уравнение окружности, полученной осевой симметрией окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Исходное уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $C(x_0, y_0)$ и радиусом $R$. При осевой симметрии радиус окружности не изменяется, так как это преобразование сохраняет расстояния. Изменяется только положение центра окружности.

а) ось абсцисс
При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$), у каждой точки $(x, y)$ ее абсцисса $x$ сохраняется, а ордината $y$ меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$.Следовательно, центр исходной окружности $C(x_0, y_0)$ отобразится в точку $C'(x_0, -y_0)$.Радиус $R$ останется прежним.Новое уравнение окружности будет иметь вид:$(x - x_0)^2 + (y - (-y_0))^2 = R^2$Упрощая, получаем:$(x - x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$
Ответ: $(x - x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$

б) ось ординат
При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$), у каждой точки $(x, y)$ ее ордината $y$ сохраняется, а абсцисса $x$ меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$.Следовательно, центр исходной окружности $C(x_0, y_0)$ отобразится в точку $C''(-x_0, y_0)$.Радиус $R$ останется прежним.Новое уравнение окружности будет иметь вид:$(x - (-x_0))^2 + (y - y_0)^2 = R^2$Упрощая, получаем:$(x + x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$
Ответ: $(x + x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

21. Окружность на координатной плоскости задана уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 4 = 0$. Напишите уравнение окружности, симметричной данной относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Сначала приведем уравнение окружности к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, чтобы определить ее центр $(a, b)$ и радиус $R$. Для этого в исходном уравнении $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 4 = 0$ выделим полные квадраты.

Группируем слагаемые: $(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) - 4 = 0$.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов, добавляя и вычитая необходимые константы:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 - 4 = 0$

$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 - 4 = 0$

Сворачиваем квадраты и приводим подобные слагаемые:

$(x+1)^2 + (y-2)^2 - 9 = 0$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$

Из канонического уравнения видно, что центр исходной окружности находится в точке $C(-1, 2)$, а ее радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

а) оси абсцисс

При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси $Ox$) абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет знак на противоположный: точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Следовательно, центр исходной окружности $C(-1, 2)$ отобразится в центр новой окружности $C_a(-1, -2)$. Радиус при симметрии не изменяется, то есть $R_a = 3$.

Уравнение новой окружности с центром в $C_a(-1, -2)$ и радиусом $R_a = 3$ имеет вид:

$(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$

$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 9$

Ответ: $(x+1)^2 + (y+2)^2 = 9$.

б) оси ординат

При симметричном отображении относительно оси ординат (оси $Oy$) ордината точки остается неизменной, а абсцисса меняет знак на противоположный: точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$. Следовательно, центр исходной окружности $C(-1, 2)$ отобразится в центр новой окружности $C_b(-(-1), 2)$, то есть $C_b(1, 2)$. Радиус при симметрии не изменяется, то есть $R_b = 3$.

Уравнение новой окружности с центром в $C_b(1, 2)$ и радиусом $R_b = 3$ имеет вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$

Ответ: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$.

22. Напишите уравнение прямой, полученной осевой симметрией прямой $ax + by + c = 0$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

а) оси абсцисс

Осевая симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox) — это преобразование, при котором для любой точки $(x, y)$ ее образом является точка $(x', y')$, где абсцисса остается той же, а ордината меняет знак.

Формулы преобразования координат:

$x' = x$

$y' = -y$

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной, нужно выразить старые координаты $(x, y)$ через новые $(x', y')$:

$x = x'$

$y = -y'$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение прямой $ax + by + c = 0$. Если точка $(x, y)$ принадлежала исходной прямой, то ее образ $(x', y')$ будет принадлежать новой прямой.

$a(x') + b(-y') + c = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$ax' - by' + c = 0$

Это и есть уравнение искомой прямой. Для стандартной формы записи заменим переменные $(x', y')$ на $(x, y)$.

Ответ: $ax - by + c = 0$

б) оси ординат

Осевая симметрия относительно оси ординат (оси Oy) — это преобразование, при котором для любой точки $(x, y)$ ее образом является точка $(x'', y'')$, где ордината остается той же, а абсцисса меняет знак.

Формулы преобразования координат:

$x'' = -x$

$y'' = y$

Выразим старые координаты $(x, y)$ через новые $(x'', y'')$:

$x = -x''$

$y = y''$

Подставим эти выражения в исходное уравнение прямой $ax + by + c = 0$:

$a(-x'') + b(y'') + c = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$-ax'' + by'' + c = 0$

Заменив $(x'', y'')$ на $(x, y)$, получаем искомое уравнение. Это уравнение также можно умножить на $-1$, чтобы получить эквивалентную форму $ax - by - c = 0$.

Ответ: $-ax + by + c = 0$

23. Прямая на координатной плоскости задана уравнением $x - 2y + 3 = 0$. Напишите уравнение прямой, симметричной данной относительно:

a) оси абсцисс;

б) оси ординат.

а) Для нахождения уравнения прямой, симметричной данной прямой относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо в исходном уравнении заменить координату $y$ на $-y$. Это правило основано на том, что при симметрии относительно оси абсцисс любая точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(x, -y)$.

Исходное уравнение: $x - 2y + 3 = 0$.

Выполним замену $y$ на $-y$:

$x - 2(-y) + 3 = 0$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$x + 2y + 3 = 0$

Ответ: $x + 2y + 3 = 0$.

б) Для нахождения уравнения прямой, симметричной данной прямой относительно оси ординат (оси $Oy$), необходимо в исходном уравнении заменить координату $x$ на $-x$. Это правило основано на том, что при симметрии относительно оси ординат любая точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(-x, y)$.

Исходное уравнение: $x - 2y + 3 = 0$.

Выполним замену $x$ на $-x$:

$(-x) - 2y + 3 = 0$

$-x - 2y + 3 = 0$

Чтобы привести уравнение к стандартному виду с положительным коэффициентом при $x$, умножим обе его части на $-1$:

$x + 2y - 3 = 0$

Ответ: $x + 2y - 3 = 0$.

24. Докажите, что последовательное выполнение двух осевых симметрий относительно параллельных прямых дает параллельный перенос.

Пусть даны две параллельные прямые $l$ и $m$. Обозначим осевую симметрию относительно прямой $l$ как $S_l$, а осевую симметрию относительно прямой $m$ как $S_m$. Нам нужно доказать, что композиция этих двух симметрий, то есть последовательное их выполнение, является параллельным переносом.

Возьмем произвольную точку $A$ на плоскости.

1. Выполним первую осевую симметрию относительно прямой $l$. Точка $A$ перейдет в точку $A'$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$, и если $H_1$ – точка пересечения $AA'$ и $l$, то $AH_1 = H_1A'$.

2. Теперь выполним вторую осевую симметрию относительно прямой $m$ для точки $A'$. Точка $A'$ перейдет в точку $A''$. По определению, прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $A'A''$. Это означает, что отрезок $A'A''$ перпендикулярен прямой $m$, и если $H_2$ – точка пересечения $A'A''$ и $m$, то $A'H_2 = H_2A''$.

Рассмотрим расположение точек $A$, $A'$ и $A''$. Поскольку прямые $l$ и $m$ параллельны ($l \parallel m$), а отрезки $AA'$ и $A'A''$ перпендикулярны этим прямым ($AA' \perp l$ и $A'A'' \perp m$), то отрезки $AA'$ и $A'A''$ параллельны друг другу. Так как они имеют общую точку $A'$, они лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $A'$, $A''$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна прямым $l$ и $m$.

Найдем вектор смещения $\vec{AA''}$. Этот вектор показывает, куда переместилась исходная точка $A$ в результате двух симметрий. Вектор $\vec{AA''}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{AA''} = \vec{AA'} + \vec{A'A''}$

Так как $H_1$ – середина отрезка $AA'$, то вектор от точки $A$ до точки $A'$ можно выразить как $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{AH_1}$. Аналогично, можно записать $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{H_1A'}$. Так как $H_2$ – середина отрезка $A'A''$, то вектор $\vec{A'A''} = 2 \cdot \vec{A'H_2}$.

Подставим эти выражения в сумму: $\vec{AA''} = 2 \cdot \vec{H_1A'} + 2 \cdot \vec{A'H_2} = 2 \cdot (\vec{H_1A'} + \vec{A'H_2})$

По правилу сложения векторов (правилу треугольника), $\vec{H_1A'} + \vec{A'H_2} = \vec{H_1H_2}$. Следовательно, получаем: $\vec{AA''} = 2 \cdot \vec{H_1H_2}$

Вектор $\vec{H_1H_2}$ соединяет точки на прямых $l$ и $m$ и перпендикулярен им обеим, поскольку он лежит на прямой $AA''$. Его направление – от прямой $l$ к прямой $m$. Его длина равна расстоянию между прямыми $l$ и $m$. Важно отметить, что этот вектор не зависит от выбора начальной точки $A$. Для любой точки на плоскости вектор, соединяющий основания перпендикуляров, опущенных на прямые $l$ и $m$, будет одним и тем же вектором $\vec{H_1H_2}$.

Таким образом, мы показали, что при последовательном выполнении двух осевых симметрий относительно параллельных прямых $l$ и $m$ любая точка $A$ плоскости переходит в точку $A''$ такую, что вектор смещения $\vec{AA''}$ является постоянным вектором, равным $2 \cdot \vec{H_1H_2}$.

Преобразование, при котором каждая точка плоскости смещается на один и тот же вектор, по определению является параллельным переносом. Вектор переноса в данном случае направлен перпендикулярно осям симметрии, а его модуль равен удвоенному расстоянию между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Последовательное выполнение двух осевых симметрий относительно параллельных прямых $l$ и $m$ является параллельным переносом на вектор, который перпендикулярен прямым $l$ и $m$, направлен от первой оси симметрии ко второй, и его длина равна удвоенному расстоянию между этими прямыми.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

25. Нарисуйте какую-нибудь точку $O$ и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы точка $O$ была серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Нарисуйте какую-нибудь точку O и какой-нибудь отрезок AB. Изобразите точки A' и B' так, чтобы точка O была серединой отрезков AA' и BB'.

Для выполнения этого задания сначала нарисуем на плоскости произвольную точку $O$ и произвольный отрезок $AB$. Для общности рассуждений выберем точку $O$ так, чтобы она не лежала на прямой, содержащей отрезок $AB$.

Далее построим точки $A'$ и $B'$. Чтобы точка $O$ была серединой отрезка $AA'$, точка $A'$ должна быть симметрична точке $A$ относительно точки $O$. Для ее построения проведем луч $AO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. По построению, $AO = OA'$ и точки $A, O, A'$ лежат на одной прямой, что и означает, что $O$ — середина отрезка $AA'$.

Аналогично построим точку $B'$. Чтобы точка $O$ была серединой отрезка $BB'$, точка $B'$ должна быть симметрична точке $B$ относительно $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$. По построению, $BO = OB'$ и точки $B, O, B'$ лежат на одной прямой, что означает, что $O$ — середина отрезка $BB'$.

Соединив точки $A'$ и $B'$, мы получим отрезок $A'B'$. Такое преобразование, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$, называется центральной симметрией с центром в точке $O$.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Чтобы охарактеризовать отрезок $A'B'$ по отношению к исходному отрезку $AB$, рассмотрим треугольники, образованные этими отрезками и точкой $O$: $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $AO$ равна стороне $A'O$ ($AO = A'O$) по нашему построению.

2. Сторона $BO$ равна стороне $B'O$ ($BO = B'O$) также по построению.

3. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A'OB'$ ($\angle AOB = \angle A'OB'$), так как они являются вертикальными углами при пересечении прямых $AA'$ и $BB'$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle A'OB'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• Соответствующие стороны $AB$ и $A'B'$ равны, то есть их длины одинаковы: $AB = A'B'$.

• Соответствующие углы равны, в частности, $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $A'B'$ и секущей $AA'$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые, содержащие отрезки $AB$ и $A'B'$, параллельны: $AB \parallel A'B'$.

Следовательно, мы можем заключить, что отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$ и параллелен ему.

Ответ: Отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$ и параллелен ему.