Страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сколько центров симметрии имеет:

а) прямая;

б) пара пересекающихся прямых;

в) пара параллельных прямых?

а) прямая

Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ при этом является серединой отрезка $AA'$.

Рассмотрим прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $O$. Для любой другой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ также будет лежать на этой же прямой $l$, так как все три точки $A$, $O$, $A'$ лежат на одной прямой и выполняется равенство $AO = OA'$. Следовательно, любая точка, принадлежащая прямой, является ее центром симметрии.

Если же выбрать точку $P$, не лежащую на прямой $l$, то для любой точки $A$ на прямой $l$ симметричная ей точка $A'$ относительно $P$ не будет лежать на прямой $l$ (за исключением случая, когда $A$ является основанием перпендикуляра, опущенного из $P$ на $l$, но для других точек прямой это свойство выполняться не будет). Таким образом, точки вне прямой не являются ее центрами симметрии.

Поскольку на прямой находится бесконечное множество точек, то и центров симметрии у нее бесконечно много.

Ответ: прямая имеет бесконечно много центров симметрии (любая ее точка).

б) пара пересекающихся прямых

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$. Проверим, является ли точка $O$ центром симметрии данной фигуры.

Если взять любую точку $A$ на одной из прямых, например на $l_1$, то симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ будет также лежать на прямой $l_1$ и, следовательно, принадлежать фигуре. Аналогично для любой точки на прямой $l_2$. Таким образом, точка пересечения $O$ является центром симметрии.

Теперь рассмотрим любую другую точку $P$, не совпадающую с $O$. Если точка $P$ лежит на одной из прямых (например, на $l_1$), то для точки $B$ на другой прямой ($l_2$, где $B \neq O$), симметричная ей точка $B'$ относительно $P$ не будет лежать ни на $l_1$, ни на $l_2$. Если же точка $P$ не лежит ни на одной из прямых, то для точки пересечения $O$ симметричная ей точка $O'$ относительно $P$ не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. В обоих случаях $P$ не является центром симметрии.

Следовательно, у пары пересекающихся прямых есть только один центр симметрии.

Ответ: пара пересекающихся прямых имеет один центр симметрии (точка их пересечения).

в) пара параллельных прямых

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Рассмотрим прямую $m$, которая параллельна данным прямым и расположена на одинаковом расстоянии от каждой из них (так называемая срединная линия).

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $O$. Возьмем любую точку $A$ на прямой $l_1$. Построим точку $A'$, симметричную $A$ относительно $O$. В силу определения центральной симметрии, точка $A'$ будет находиться на таком же расстоянии от прямой $m$, как и точка $A$, но с противоположной стороны. Это означает, что точка $A'$ будет лежать на прямой $l_2$. Аналогично, для любой точки $B$ на прямой $l_2$ симметричная ей точка $B'$ относительно $O$ будет лежать на прямой $l_1$.

Таким образом, любая точка $O$, лежащая на срединной прямой $m$, является центром симметрии для пары параллельных прямых. Так как прямая $m$ состоит из бесконечного множества точек, то и центров симметрии у данной фигуры бесконечно много.

Ответ: пара параллельных прямых имеет бесконечно много центров симметрии (все точки прямой, параллельной данным и равноудаленной от них).

9. Имеет ли центр симметрии:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) правильный пятиугольник;

г) правильный шестиугольник?

а) правильный треугольник
Фигура имеет центр симметрии, если существует такая точка (центр симметрии), относительно которой каждая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Это эквивалентно тому, что фигура совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра. У правильного треугольника таким центром мог бы быть только центр описанной окружности (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Однако при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки ни одна из вершин не перейдет в другую вершину треугольника. Таким образом, треугольник не совместится сам с собой. В общем, правильный $n$-угольник имеет центр симметрии только тогда, когда число его сторон $n$ четное. У треугольника $n=3$ (нечетное).
Ответ: нет.

б) квадрат
Квадрат является правильным четырехугольником, число его сторон $n=4$ (четное). Следовательно, он имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей. При повороте квадрата на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную ей вершину, и квадрат полностью совмещается сам с собой.
Ответ: да.

в) правильный пятиугольник
У правильного пятиугольника число сторон $n=5$ (нечетное). Согласно общему правилу для правильных многоугольников, он не имеет центра симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг его геометрического центра (центра описанной окружности), вершины и стороны пятиугольника не перейдут в другие вершины и стороны, следовательно, фигура не совместится сама с собой.
Ответ: нет.

г) правильный шестиугольник
У правильного шестиугольника число сторон $n=6$ (четное), поэтому он имеет центр симметрии. Центром симметрии является точка пересечения его больших диагоналей (соединяющих противоположные вершины). При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, каждая сторона – в противоположную, и вся фигура отображается сама на себя.
Ответ: да.

10. Имеет ли центр симметрии:

а) параллелограмм;

б) ромб;

в) равнобедренная трапеция?

а) параллелограмм
Да, параллелограмм имеет центр симметрии. Центром симметрии геометрической фигуры является точка, поворот на $180^\circ$ вокруг которой переводит фигуру в саму себя. Для параллелограмма такой точкой является точка пересечения его диагоналей. Согласно свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому при таком повороте каждая вершина отображается на противоположную, а сам параллелограмм совмещается с собой. Ответ: да.

б) ромб
Да, ромб имеет центр симметрии. Ромб — это частный случай параллелограмма (параллелограмм, у которого все стороны равны). Следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма, включая наличие центра симметрии. Центром симметрии ромба, как и у любого параллелограмма, является точка пересечения его диагоналей. Ответ: да.

в) равнобедренная трапеция
Нет, в общем случае равнобедренная трапеция не имеет центра симметрии. Если предположить, что такой центр существует, то поворот на $180^\circ$ вокруг него должен совмещать трапецию с собой. При этом основания трапеции должны были бы поменяться местами. Однако у трапеции, не являющейся параллелограммом, основания имеют разную длину, поэтому их совмещение невозможно. Таким образом, равнобедренная трапеция имеет ось симметрии (прямую, проходящую через середины оснований), но не центр симметрии. Ответ: нет.

11. Какие из фигур, изображенных на рисунке 10.7, имеют центр симметрии?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 10.7

Центр симметрии фигуры — это такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, фигура имеет центр симметрии, если она совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра. Проанализируем каждую фигуру, изображенную на рисунке.

а) Равносторонний треугольник. Его центр (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) не является центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра вершины треугольника отобразятся на середины противоположных сторон. Таким образом, повернутая фигура не совпадет с исходной.
Ответ: Фигура не имеет центра симметрии.

б) Параллелограмм. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, и вся фигура совмещается сама с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

в) Правильный шестиугольник. Геометрический центр правильного шестиугольника (точка пересечения его больших диагоналей) является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра каждая вершина переходит в противоположную, и фигура полностью совпадает сама с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

г) Круг. Геометрический центр круга является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ (а также на любой другой угол) вокруг своего центра круг совмещается сам с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

д) Фигура, похожая на пропеллер. Эта фигура обладает поворотной симметрией 4-го порядка, то есть она совмещается сама с собой при поворотах на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ вокруг центральной точки. Поскольку поворот на $180^\circ$ является преобразованием симметрии для этой фигуры, у нее есть центр симметрии.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

е) Правильная пятиконечная звезда. Эта фигура имеет поворотную симметрию 5-го порядка. Углы поворота, при которых она совмещается сама с собой, кратны $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Так как $180^\circ$ не является кратным $72^\circ$, поворот на $180^\circ$ не совмещает фигуру с самой собой.
Ответ: Фигура не имеет центра симметрии.

Таким образом, центр симметрии имеют фигуры, изображенные на рисунках б), в), г) и д).

12. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно центра $O$ (рис. 10.8).

а)

б)

в)

Рис. 10.8

а)

Для того чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно центра $O$, необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные соответственно вершинам $A$, $B$, $C$ относительно точки $O$. Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $XX'$.

Построение на клетчатой бумаге удобно выполнять, определяя смещение по клеткам. Вектор из точки $O$ в симметричную точку $A'$ равен вектору из исходной точки $A$ в центр $O$, то есть $\vec{OA'} = \vec{AO}$.

1. Для нахождения точки $A'$ определим смещение от $A$ до $O$: 3 клетки вправо и 2 клетки вверх. Следовательно, откладываем такое же смещение от точки $O$ и получаем точку $A'$.

2. Для нахождения точки $B'$ определим смещение от $B$ до $O$: 1 клетка влево и 2 клетки вверх. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и получаем точку $B'$.

3. Для нахождения точки $C'$ определим смещение от $C$ до $O$: 1 клетка вправо и 1 клетка вниз. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и получаем точку $C'$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками, получаем искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Изображен симметричный треугольник $A'B'C'$, вершины которого расположены относительно центра $O$ следующим образом: $A'$ — на 3 клетки вправо и 2 вверх; $B'$ — на 1 клетку влево и 2 вверх; $C'$ — на 1 клетку вправо и 1 вниз.

б)

Построение симметричного треугольника $A'B'C'$ выполняется аналогично. Для каждой вершины исходного треугольника $ABC$ находим ее образ при центральной симметрии относительно точки $O$ по правилу $\vec{OX'} = \vec{XO}$.

1. Для точки $A$: смещение от $A$ до $O$ составляет 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $A'$.

2. Для точки $B$: смещение от $B$ до $O$ составляет 3 клетки влево и 1 клетку вверх. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $B'$.

3. Для точки $C$: смещение от $C$ до $O$ составляет 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $C'$.

Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ и получаем искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Изображен симметричный треугольник $A'B'C'$, вершины которого расположены относительно центра $O$ следующим образом: $A'$ — на 2 клетки вправо и 1 вверх; $B'$ — на 3 клетки влево и 1 вверх; $C'$ — на 1 клетку влево и 2 вниз.

в)

Построение симметричного треугольника $A'B'C'$ выполняется по тому же принципу. Находим точки, симметричные вершинам $A$, $B$, $C$ относительно центра $O$.

1. Для точки $A$: смещение от $A$ до $O$ составляет 2 клетки влево и 3 клетки вверх. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $A'$.

2. Для точки $B$: смещение от $B$ до $O$ составляет 3 клетки влево и 2 клетки вниз. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $B'$.

3. Для точки $C$: смещение от $C$ до $O$ составляет 1 клетку влево и 3 клетки вниз. Откладываем такое же смещение от $O$, чтобы найти точку $C'$.

Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками, получая искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Изображен симметричный треугольник $A'B'C'$, вершины которого расположены относительно центра $O$ следующим образом: $A'$ — на 2 клетки влево и 3 вверх; $B'$ — на 3 клетки влево и 2 вниз; $C'$ — на 1 клетку влево и 3 вниз.