Номер 8, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сколько центров симметрии имеет:

а) прямая;

б) пара пересекающихся прямых;

в) пара параллельных прямых?

а) прямая

Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ при этом является серединой отрезка $AA'$.

Рассмотрим прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $O$. Для любой другой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ также будет лежать на этой же прямой $l$, так как все три точки $A$, $O$, $A'$ лежат на одной прямой и выполняется равенство $AO = OA'$. Следовательно, любая точка, принадлежащая прямой, является ее центром симметрии.

Если же выбрать точку $P$, не лежащую на прямой $l$, то для любой точки $A$ на прямой $l$ симметричная ей точка $A'$ относительно $P$ не будет лежать на прямой $l$ (за исключением случая, когда $A$ является основанием перпендикуляра, опущенного из $P$ на $l$, но для других точек прямой это свойство выполняться не будет). Таким образом, точки вне прямой не являются ее центрами симметрии.

Поскольку на прямой находится бесконечное множество точек, то и центров симметрии у нее бесконечно много.

Ответ: прямая имеет бесконечно много центров симметрии (любая ее точка).

б) пара пересекающихся прямых

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$. Проверим, является ли точка $O$ центром симметрии данной фигуры.

Если взять любую точку $A$ на одной из прямых, например на $l_1$, то симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ будет также лежать на прямой $l_1$ и, следовательно, принадлежать фигуре. Аналогично для любой точки на прямой $l_2$. Таким образом, точка пересечения $O$ является центром симметрии.

Теперь рассмотрим любую другую точку $P$, не совпадающую с $O$. Если точка $P$ лежит на одной из прямых (например, на $l_1$), то для точки $B$ на другой прямой ($l_2$, где $B \neq O$), симметричная ей точка $B'$ относительно $P$ не будет лежать ни на $l_1$, ни на $l_2$. Если же точка $P$ не лежит ни на одной из прямых, то для точки пересечения $O$ симметричная ей точка $O'$ относительно $P$ не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. В обоих случаях $P$ не является центром симметрии.

Следовательно, у пары пересекающихся прямых есть только один центр симметрии.

Ответ: пара пересекающихся прямых имеет один центр симметрии (точка их пересечения).

в) пара параллельных прямых

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Рассмотрим прямую $m$, которая параллельна данным прямым и расположена на одинаковом расстоянии от каждой из них (так называемая срединная линия).

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $O$. Возьмем любую точку $A$ на прямой $l_1$. Построим точку $A'$, симметричную $A$ относительно $O$. В силу определения центральной симметрии, точка $A'$ будет находиться на таком же расстоянии от прямой $m$, как и точка $A$, но с противоположной стороны. Это означает, что точка $A'$ будет лежать на прямой $l_2$. Аналогично, для любой точки $B$ на прямой $l_2$ симметричная ей точка $B'$ относительно $O$ будет лежать на прямой $l_1$.

Таким образом, любая точка $O$, лежащая на срединной прямой $m$, является центром симметрии для пары параллельных прямых. Так как прямая $m$ состоит из бесконечного множества точек, то и центров симметрии у данной фигуры бесконечно много.

Ответ: пара параллельных прямых имеет бесконечно много центров симметрии (все точки прямой, параллельной данным и равноудаленной от них).