Номер 13, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите прямую, симметричную прямой $a$ относительно центра $O$ (рис. 10.9).

а)

б)

в)

Рис. 10.9

а)

Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой $a$ относительно центра $O$, нужно найти образы (симметричные точки) для двух любых точек прямой $a$ и провести через них новую прямую. Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Известно, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. В данном случае прямая $a$ является горизонтальной, и точка $O$ не лежит на ней. Следовательно, симметричная ей прямая $a'$ также будет горизонтальной.

Для нахождения положения прямой $a'$, найдем расстояние от прямой $a$ до точки $O$. Из рисунка видно, что точка $O$ находится на расстоянии одной клетки (одного единичного отрезка) выше прямой $a$. Симметричная прямая $a'$ должна находиться на таком же расстоянии от точки $O$, но с противоположной стороны. Таким образом, прямая $a'$ будет располагаться на одну клетку выше точки $O$ и, соответственно, на две клетки выше исходной прямой $a$.

Ответ: Симметричная прямая $a'$ — это горизонтальная прямая, параллельная прямой $a$ и расположенная на 2 клетки выше неё.

б)

В этом случае центр симметрии $O$ лежит на самой прямой $a$. Это можно увидеть, мысленно продолжив отрезок прямой $a$, изображенный на рисунке.

Если центр симметрии принадлежит прямой, то при симметрии относительно этого центра прямая отображается сама на себя. Это происходит потому, что для любой точки $M$, принадлежащей прямой $a$, симметричная ей точка $M'$ (для которой $O$ — середина отрезка $MM'$) также будет лежать на этой же прямой $a$. Таким образом, множество всех симметричных точек совпадает с множеством точек исходной прямой.

Ответ: Прямая, симметричная прямой $a$ относительно точки $O$, совпадает с самой прямой $a$.

в)

Здесь центр симметрии $O$ не принадлежит прямой $a$. Значит, симметричная прямая $a'$ будет параллельна исходной прямой $a$.

Для построения прямой $a'$ выберем две удобные точки на прямой $a$ (например, в узлах сетки) и построим их симметричные образы относительно точки $O$.

1. Выберем на прямой $a$ точку $A$. Пусть ее координаты, судя по сетке, равны (3, 1), если считать левый нижний узел за (0, 0), а центр $O$ имеет координаты (2, 3). Чтобы из точки $A$ попасть в точку $O$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $A'$, нужно выполнить такое же смещение от точки $O$: 1 клетка влево и 2 клетки вверх от $O$(2, 3) приведут нас в точку $A'$(1, 5).

2. Выберем на прямой $a$ вторую точку $B$ с координатами (4, 3). Чтобы из точки $B$ попасть в точку $O$, нужно сместиться на 2 клетки влево по горизонтали. Для нахождения симметричной точки $B'$, сместимся от $O$ на 2 клетки влево, получив точку $B'$(0, 3).

3. Проведем прямую через найденные точки $A'$(1, 5) и $B'$(0, 3). Эта прямая $a'$ и будет искомой. Она будет параллельна прямой $a$.

Ответ: Искомая прямая $a'$ параллельна прямой $a$ и проходит через точки, симметричные точкам прямой $a$ относительно центра $O$.