Номер 17, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

18. Д

Для доказательства того, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии, нам нужно показать, что для любой точки, принадлежащей параллелограмму, симметричная ей точка относительно точки пересечения диагоналей также принадлежит этому параллелограмму.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По определению, точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

1. Симметрия вершин.
Согласно свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$. Из равенства $AO = OC$ следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$, а значит, вершина $A$ симметрична вершине $C$ относительно точки $O$. Аналогично, из равенства $BO = OD$ следует, что $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому вершина $B$ симметрична вершине $D$ относительно точки $O$.

2. Симметрия произвольной точки на стороне.
Возьмём произвольную точку $M$ на стороне $AB$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. По определению, $O$ — середина отрезка $MM'$. Нам необходимо доказать, что точка $M'$ принадлежит стороне $CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM'$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• $MO = M'O$ (по построению симметричной точки).
• $\angle AOM = \angle COM'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOM \cong \triangle COM'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих элементов: $AM = CM'$ и $\angle MAO = \angle M'CO$.

Углы $\angle MAO$ (то есть $\angle CAB$) и $\angle M'CO$ (то есть $\angle ACD$) являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$. Из параллельности следует равенство внутренних накрест лежащих углов: $\angle CAB = \angle ACD$.

Поскольку мы доказали, что $\angle MAO = \angle M'CO$, это означает, что точка $M'$ лежит на прямой $CD$.

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то выполняется неравенство $0 \le AM \le AB$. Из доказанного равенства $AM = CM'$ и свойства параллелограмма $AB = CD$ следует, что $0 \le CM' \le CD$. Это означает, что точка $M'$ принадлежит именно отрезку $CD$.

Таким образом, для любой точки $M$ на стороне $AB$ симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ лежит на противоположной стороне $CD$. Аналогично доказывается, что для любой точки на стороне $BC$ симметричная ей точка лежит на стороне $DA$.

Поскольку любая точка границы параллелограмма имеет симметричную ей точку относительно $O$, которая также лежит на границе, то вся фигура параллелограмма (включая его внутреннюю область) симметрична относительно точки $O$.

Следовательно, точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма, так как по свойству диагоналей, они делятся точкой пересечения пополам, что обеспечивает симметрию вершин. Используя равенство треугольников, можно показать, что любая точка на одной стороне параллелограмма имеет симметричную ей точку на противоположной стороне, что доказывает симметричность всей фигуры.