Номер 14, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Укажите центр симметрии для двух симметричных: а) отрезков; б) треугольников; в) квадратов, изображенных на рисунке 10.10.

а)

б)

в)

Рис. 10.10

а) Центр симметрии двух фигур — это точка, являющаяся серединой отрезка, соединяющего любые две соответствующие симметричные точки. Для отрезков AB и CD, изображенных на рисунке, соответствующими точками являются их концы: точка A соответствует точке D, а точка B — точке C. Чтобы найти центр симметрии, найдем середину отрезка AD (или BC).

Введем систему координат, где левый нижний узел сетки — это начало координат, точка (0,0). Тогда координаты вершин будут следующими:

A = (1, 1)

B = (4, 0)

C = (1, 4)

D = (4, 3)

Координаты середины O отрезка AD вычисляются по формулам: $O_x = \frac{x_A+x_D}{2}$ и $O_y = \frac{y_A+y_D}{2}$.

Подставим значения: $O_x = \frac{1+4}{2} = 2.5$ и $O_y = \frac{1+3}{2} = 2$.

Таким образом, центр симметрии — точка O(2.5, 2). Проверим результат, найдя середину отрезка BC: $O_x = \frac{4+1}{2} = 2.5$ и $O_y = \frac{0+4}{2} = 2$. Результаты совпадают.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (2.5, 2), если принять левый нижний узел сетки за начало координат.

б) Для нахождения центра симметрии двух треугольников ABC и DEF необходимо найти середину отрезка, соединяющего их соответствующие вершины. Из рисунка видно, что вершине A соответствует вершина D, B — E, и C — F.

Введем систему координат с началом в левом нижнем углу левой сетки. Координаты вершин:

A = (1, 3)

B = (2, 1)

C = (3, 2)

D = (7, 2)

E = (6, 4)

F = (5, 3)

Найдем координаты середины O отрезка, соединяющего соответствующие вершины A и D: $O_x = \frac{1+7}{2} = 4$ и $O_y = \frac{3+2}{2} = 2.5$.

Итак, предполагаемый центр симметрии — точка O(4, 2.5). Убедимся, что эта же точка является серединой отрезков BE и CF. Для BE: $O_x = \frac{2+6}{2} = 4$, $O_y = \frac{1+4}{2} = 2.5$. Для CF: $O_x = \frac{3+5}{2} = 4$, $O_y = \frac{2+3}{2} = 2.5$. Все вычисления дают один и тот же результат.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (4, 2.5) в системе координат, где левый нижний узел левой сетки — начало координат.

в) Центр симметрии двух квадратов ABCD и EFGH также можно найти как середину отрезка, соединяющего любую пару соответствующих вершин. Судя по расположению фигур, вершине A соответствует вершина F, B — G, C — H, и D — E.

Введем систему координат с началом в левом нижнем углу левой сетки. Координаты вершин:

A = (1, 2)

B = (2, 0)

C = (4, 1)

D = (3, 3)

E = (6, 1)

F = (8, 2)

G = (7, 4)

H = (5, 3)

Найдем координаты середины O отрезка, соединяющего соответствующие вершины A и F: $O_x = \frac{1+8}{2} = 4.5$ и $O_y = \frac{2+2}{2} = 2$.

Центр симметрии — точка O(4.5, 2). Проверка по другой паре вершин, например D и E, подтверждает этот результат: $O_x = \frac{3+6}{2} = 4.5$ и $O_y = \frac{3+1}{2} = 2$.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (4.5, 2) в системе координат, где левый нижний узел левой сетки — начало координат.