Номер 9, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Имеет ли центр симметрии:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) правильный пятиугольник;

г) правильный шестиугольник?

а) правильный треугольник
Фигура имеет центр симметрии, если существует такая точка (центр симметрии), относительно которой каждая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Это эквивалентно тому, что фигура совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра. У правильного треугольника таким центром мог бы быть только центр описанной окружности (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Однако при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки ни одна из вершин не перейдет в другую вершину треугольника. Таким образом, треугольник не совместится сам с собой. В общем, правильный $n$-угольник имеет центр симметрии только тогда, когда число его сторон $n$ четное. У треугольника $n=3$ (нечетное).
Ответ: нет.

б) квадрат
Квадрат является правильным четырехугольником, число его сторон $n=4$ (четное). Следовательно, он имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей. При повороте квадрата на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную ей вершину, и квадрат полностью совмещается сам с собой.
Ответ: да.

в) правильный пятиугольник
У правильного пятиугольника число сторон $n=5$ (нечетное). Согласно общему правилу для правильных многоугольников, он не имеет центра симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг его геометрического центра (центра описанной окружности), вершины и стороны пятиугольника не перейдут в другие вершины и стороны, следовательно, фигура не совместится сама с собой.
Ответ: нет.

г) правильный шестиугольник
У правильного шестиугольника число сторон $n=6$ (четное), поэтому он имеет центр симметрии. Центром симметрии является точка пересечения его больших диагоналей (соединяющих противоположные вершины). При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, каждая сторона – в противоположную, и вся фигура отображается сама на себя.
Ответ: да.