Номер 3, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Что является центром симметрии отрезка?

3. Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, точка, симметричная ей относительно центра симметрии, также принадлежит этой фигуре.

Для отрезка таким центром симметрии является его середина.

Рассмотрим отрезок $AB$, где $A$ и $B$ — его концы, и пусть точка $M$ — его середина. По определению середины отрезка, расстояния $AM$ и $MB$ равны, и точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой. Это значит, что концы отрезка, точки $A$ и $B$, симметричны друг другу относительно точки $M$.

Теперь возьмем любую другую точку $P$, лежащую на отрезке $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно центра $M$, также должна лежать на отрезке $AB$. По определению центральной симметрии, точка $M$ является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что точка $P'$ лежит на той же прямой, что и $P$ и $M$ (то есть на прямой $AB$), на таком же расстоянии от $M$, но с противоположной стороны.

Если точка $P$ находится между $A$ и $M$, то ее симметричная точка $P'$ окажется между $M$ и $B$. Если же $P$ находится между $M$ и $B$, то $P'$ окажется между $A$ и $M$. Если $P$ совпадает с $M$, то $P'$ также совпадает с $M$. Во всех случаях точка $P'$ принадлежит отрезку $AB$.

Таким образом, для любой точки отрезка симметричная ей точка относительно его середины также находится на этом отрезке. Следовательно, середина отрезка является его центром симметрии.

Если концы отрезка заданы координатами $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то координаты его середины $M$ (которая и является центром симметрии) находятся по формулам: $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Ответ: середина отрезка.