Задания, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Доказательство 2 и 3 свойств проведите самостоятельно.

Доказательство свойства 2
В данном решении доказываются свойства логарифмов, так как они являются одними из фундаментальных тем в алгебре, где свойства часто нумеруются для изучения. Предполагается, что свойство 1 (логарифм произведения) уже было доказано.
Свойство 2 — это формула логарифма частного: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Формула для доказательства: $ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $, при условиях $ a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0 $.

Доказательство.
1. Обозначим $ \log_a(b) = x $ и $ \log_a(c) = y $.
2. Согласно определению логарифма, эти выражения эквивалентны степенным: $ a^x = b $ и $ a^y = c $.
3. Рассмотрим частное $ \frac{b}{c} $. Подставим в него выражения для $b$ и $c$ из предыдущего шага:
$ \frac{b}{c} = \frac{a^x}{a^y} $
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $
5. Таким образом, мы получили равенство: $ \frac{b}{c} = a^{x-y} $.
6. Теперь, по определению логарифма, преобразуем полученное степенное равенство обратно в логарифмическое:
$ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = x - y $
7. Наконец, подставим исходные обозначения для $ x $ и $ y $:
$ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула логарифма частного $ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $ доказана.

Доказательство свойства 3
Свойство 3 — это формула логарифма степени: логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.
Формула для доказательства: $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $, при условиях $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $, а $p$ - любое действительное число.

Доказательство.
1. Обозначим $ \log_a(b) = x $.
2. Согласно определению логарифма, это выражение эквивалентно степенному: $ a^x = b $.
3. Возведем обе части этого равенства в степень $ p $:
$ (a^x)^p = b^p $
4. Применим свойство возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{mn} $):
$ (a^x)^p = a^{xp} $
5. Таким образом, мы получили равенство: $ b^p = a^{xp} $.
6. Теперь, по определению логарифма, преобразуем полученное степенное равенство обратно в логарифмическое:
$ \log_a(b^p) = xp $
7. Наконец, подставим исходное обозначение для $ x $:
$ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула логарифма степени $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $ доказана.