Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Доказательство 2 и 3 свойств проведите самостоятельно.

Доказательство свойства 2
В данном решении доказываются свойства логарифмов, так как они являются одними из фундаментальных тем в алгебре, где свойства часто нумеруются для изучения. Предполагается, что свойство 1 (логарифм произведения) уже было доказано.
Свойство 2 — это формула логарифма частного: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Формула для доказательства: $ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $, при условиях $ a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0 $.

Доказательство.
1. Обозначим $ \log_a(b) = x $ и $ \log_a(c) = y $.
2. Согласно определению логарифма, эти выражения эквивалентны степенным: $ a^x = b $ и $ a^y = c $.
3. Рассмотрим частное $ \frac{b}{c} $. Подставим в него выражения для $b$ и $c$ из предыдущего шага:
$ \frac{b}{c} = \frac{a^x}{a^y} $
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $
5. Таким образом, мы получили равенство: $ \frac{b}{c} = a^{x-y} $.
6. Теперь, по определению логарифма, преобразуем полученное степенное равенство обратно в логарифмическое:
$ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = x - y $
7. Наконец, подставим исходные обозначения для $ x $ и $ y $:
$ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула логарифма частного $ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) $ доказана.

Доказательство свойства 3
Свойство 3 — это формула логарифма степени: логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.
Формула для доказательства: $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $, при условиях $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $, а $p$ - любое действительное число.

Доказательство.
1. Обозначим $ \log_a(b) = x $.
2. Согласно определению логарифма, это выражение эквивалентно степенному: $ a^x = b $.
3. Возведем обе части этого равенства в степень $ p $:
$ (a^x)^p = b^p $
4. Применим свойство возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{mn} $):
$ (a^x)^p = a^{xp} $
5. Таким образом, мы получили равенство: $ b^p = a^{xp} $.
6. Теперь, по определению логарифма, преобразуем полученное степенное равенство обратно в логарифмическое:
$ \log_a(b^p) = xp $
7. Наконец, подставим исходное обозначение для $ x $:
$ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула логарифма степени $ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b) $ доказана.

1. Какие точки называются симметричными относительно точки?

2. Что называется центральной симметрией?

3. Какие фигуры называются центрально-симметричными?

4. Какая фигура называется центрально-симметричной?

5. Сохраняет ли центральная симметрия расстояние между точками?

6. Куда при центральной симметрии переходят отрезок, луч, прямая?

7. Сохраняет ли центральная симметрия величины углов?

1. Какие точки называются симметричными относительно точки?
Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, и при этом расстояние от $O$ до $A$ равно расстоянию от $O$ до $A'$ ($OA = OA'$). Точка, симметричная центру симметрии $O$ относительно самого себя, есть сама точка $O$.
Ответ: Точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$.

2. Что называется центральной симметрией?
Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование фигуры (или пространства), при котором каждая точка $M$ переходит в новую точку $M'$, симметричную ей относительно центра $O$. Точка $O$ при этом называется центром симметрии. Это преобразование является одним из видов движения (изометрии).
Ответ: Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование, которое каждую точку фигуры переводит в симметричную ей точку относительно центра $O$.

3. Какие фигуры называются центрально-симметричными?
Фигуры называются центрально-симметричными, если существует такая точка (центр симметрии), относительно которой центральная симметрия переводит фигуру в саму себя. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность (центр симметрии — ее центр), параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения диагоналей), прямая, отрезок.
Ответ: Фигуры, которые при центральной симметрии относительно некоторой точки переходят в себя.

4. Какая фигура называется центрально-симметричной?
Фигура называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$, называемая центром симметрии, что для каждой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иначе говоря, фигура совпадает со своим образом при центральной симметрии.
Ответ: Фигура, которая имеет центр симметрии, то есть точку, при симметрии относительно которой фигура переходит сама в себя.

5. Сохраняет ли центральная симметрия расстояние между точками?
Да, центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. Она является движением (изометрией).
Доказательство: Пусть при центральной симметрии относительно точки $O$ точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Это значит, что $O$ — середина отрезков $AA'$ и $BB'$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. По определению симметрии, $AO = A'O$ и $BO = B'O$. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Расстояние между точками сохранилось.
Ответ: Да, сохраняет.

6. Куда при центральной симметрии переходят отрезок, луч, прямая?
При центральной симметрии:
- Отрезок переходит в равный ему и параллельный ему отрезок. Если отрезок проходит через центр симметрии, то он переходит в отрезок, лежащий на той же прямой.
- Прямая переходит в параллельную ей прямую. Если прямая проходит через центр симметрии, она переходит сама в себя.
- Луч переходит в луч, который ему противонаправлен. То есть, если был луч $AB$, то он перейдет в луч $A'B'$, где $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$. При этом векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$ будут противоположно направлены ($\vec{A'B'} = -\vec{AB}$).
Ответ: Отрезок переходит в равный ему отрезок, луч — в противонаправленный ему луч, прямая — в параллельную ей прямую (или в себя).

7. Сохраняет ли центральная симметрия величины углов?
Да, центральная симметрия сохраняет величины углов.
Это следует из того, что центральная симметрия является движением (изометрией), а любое движение сохраняет углы. Можно доказать это и напрямую. Рассмотрим угол $\angle ABC$. При центральной симметрии точки $A, B, C$ перейдут в точки $A', B', C'$. Как было показано в ответе на вопрос 5, расстояния сохраняются, то есть $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих углов: $\angle ABC = \angle A'B'C'$.
Ответ: Да, сохраняет.

1. Какая точка при центральной симметрии переходит в себя?

1. Центральная симметрия относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) — это такое преобразование пространства, при котором любая точка $A$ переходит в точку $A'$, для которой точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Чтобы точка перешла в саму себя, ее образ должен совпадать с исходной точкой. Пусть точка $P$ переходит в себя. Это означает, что ее образ $P'$ совпадает с $P$.

По определению центральной симметрии, центр $O$ должен быть серединой отрезка $PP'$. Если $P' = P$, то отрезок $PP'$ вырождается в одну точку $P$. Серединой отрезка, состоящего из одной точки, является сама эта точка. Следовательно, центр симметрии $O$ должен совпадать с точкой $P$.

Таким образом, единственной неподвижной точкой при центральной симметрии является сам центр симметрии.

Ответ: Центр симметрии.

2. Какая прямая при центральной симметрии переходит в себя?

Центральная симметрия относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM'$. Чтобы прямая переходила в себя, необходимо, чтобы образ любой точки этой прямой также принадлежал этой прямой.

Рассмотрим прямую $a$ и центр симметрии $O$. Существует два возможных случая их взаимного расположения.

Случай 1: Центр симметрии $O$ лежит на прямой $a$.

Возьмем любую точку $M$ на прямой $a$. По определению центральной симметрии, ее образ, точка $M'$, лежит на прямой, проходящей через точки $M$ и $O$. Поскольку обе эти точки ($M$ и $O$) уже лежат на прямой $a$, то и точка $M'$ также обязана лежать на прямой $a$. Так как это верно для любой точки прямой $a$, то вся прямая $a$ при такой симметрии переходит в себя.

Случай 2: Центр симметрии $O$ не лежит на прямой $a$.

В этом случае прямая $a$ отобразится на другую прямую, $a'$, которая будет ей параллельна. Чтобы это показать, выберем на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$. Их образами будут точки $A'$ и $B'$, а образом прямой $a$ будет прямая $a'$, проходящая через $A'$ и $B'$. По определению симметрии, $O$ — середина отрезков $AA'$ и $BB'$. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. В них $OA = OA'$ и $OB = OB'$, а углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle OAB \cong \triangle OA'B'$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов ($\angle OAB = \angle OA'B'$ при секущей $AA'$), что доказывает параллельность прямых $a$ и $a'$. Так как точка $O$ не принадлежит прямой $a$, то прямые $a$ и $a'$ не совпадают.

Из этого следует, что единственным случаем, когда прямая переходит в себя при центральной симметрии, является тот, когда она проходит через центр симметрии.

Ответ: При центральной симметрии в себя переходит любая прямая, которая проходит через центр симметрии.

3. Что является центром симметрии отрезка?

3. Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, точка, симметричная ей относительно центра симметрии, также принадлежит этой фигуре.

Для отрезка таким центром симметрии является его середина.

Рассмотрим отрезок $AB$, где $A$ и $B$ — его концы, и пусть точка $M$ — его середина. По определению середины отрезка, расстояния $AM$ и $MB$ равны, и точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой. Это значит, что концы отрезка, точки $A$ и $B$, симметричны друг другу относительно точки $M$.

Теперь возьмем любую другую точку $P$, лежащую на отрезке $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно центра $M$, также должна лежать на отрезке $AB$. По определению центральной симметрии, точка $M$ является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что точка $P'$ лежит на той же прямой, что и $P$ и $M$ (то есть на прямой $AB$), на таком же расстоянии от $M$, но с противоположной стороны.

Если точка $P$ находится между $A$ и $M$, то ее симметричная точка $P'$ окажется между $M$ и $B$. Если же $P$ находится между $M$ и $B$, то $P'$ окажется между $A$ и $M$. Если $P$ совпадает с $M$, то $P'$ также совпадает с $M$. Во всех случаях точка $P'$ принадлежит отрезку $AB$.

Таким образом, для любой точки отрезка симметричная ей точка относительно его середины также находится на этом отрезке. Следовательно, середина отрезка является его центром симметрии.

Если концы отрезка заданы координатами $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то координаты его середины $M$ (которая и является центром симметрии) находятся по формулам: $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Ответ: середина отрезка.

4. Центральная симметрия переводит точку $A$ в точку $A'$. Где находится центр симметрии?

Центральная симметрия относительно некоторой точки $O$, называемой центром симметрии, — это преобразование пространства (или плоскости), при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Это означает, что центр симметрии $O$ удовлетворяет двум условиям:

1. Точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой.

2. Расстояния от центра симметрии до исходной точки и до ее образа равны: $|AO| = |OA'|$.

Из этих условий следует, что для нахождения центра симметрии, зная положение точки $A$ и ее образа $A'$, необходимо выполнить следующие действия:

- Соединить точки $A$ и $A'$ отрезком прямой.

- Найти середину этого отрезка $AA'$.

Полученная точка и будет являться искомым центром симметрии.

Ответ: Центр симметрии находится в середине отрезка, соединяющего точку $A$ и ее образ $A'$.

5. Имеет ли луч центр симметрии?

5. Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала вспомним определение центра симметрии и луча.

Центр симметрии фигуры — это такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры, точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Луч — это часть прямой, состоящая из данной точки (начала луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.

Предположим, что у луча существует центр симметрии. Обозначим этот предполагаемый центр симметрии как точку $C$.

Рассмотрим луч с началом в точке $O$, который проходит через точку $B$.

Докажем от противного. Допустим, у луча есть центр симметрии $C$.

Для удобства разместим наш луч на координатной оси $Ox$ так, чтобы его начало совпадало с точкой $O(0)$. Тогда луч будет представлять собой множество точек с координатами $x \ge 0$.

Пусть предполагаемый центр симметрии $C$ имеет координату $c$.

Согласно определению центра симметрии, для любой точки $P$ на луче (с координатой $p \ge 0$) симметричная ей точка $P'$ (с координатой $p'$) также должна лежать на луче. Координата симметричной точки находится из условия, что $C$ — середина отрезка $PP'$: $c = \frac{p+p'}{2}$, откуда $p' = 2c - p$.

Таким образом, для любого $p \ge 0$ должно выполняться условие $p' = 2c - p \ge 0$.

Однако луч уходит в бесконечность. Мы можем взять точку на луче со сколь угодно большой координатой $p$. Для любого фиксированного значения $c$ мы всегда можем выбрать такое $p$, что это условие не будет выполняться.

Например, выберем точку на луче с координатой $p = 3c$. Если $c > 0$, то такая точка существует. Тогда координата симметричной ей точки будет $p' = 2c - 3c = -c$. Поскольку $c > 0$, то $-c < 0$, и точка $P'$ не принадлежит лучу. Наше предположение неверно.

Если $c = 0$, то $p' = -p$. Для любой точки луча с $p > 0$ симметричная ей точка будет иметь координату $p' < 0$, то есть не будет лежать на луче.

Если $c < 0$, то для любой точки луча с $p \ge 0$, симметричная ей точка будет иметь координату $p' = 2c - p$. Так как $2c < 0$ и $-p \le 0$, то $p'$ всегда будет отрицательной и не будет принадлежать лучу.

Мы рассмотрели все возможные варианты расположения предполагаемого центра симметрии $C$ на прямой, содержащей луч, и в каждом случае пришли к противоречию. Если же предположить, что центр симметрии лежит вне прямой, содержащей луч, то симметричные точки луча также будут лежать вне этой прямой, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет, луч не имеет центра симметрии.

6. Изобразите точку, симметричную точке $A$ относительно центра $O$ (рис. 10.5).

а)

б)

в)

Рис. 10.5

Чтобы найти точку, симметричную точке А относительно центра О, нужно построить точку А' так, чтобы точка О была серединой отрезка АА'. Это означает, что точки А, О и А' должны лежать на одной прямой, а расстояние от А до О должно быть равно расстоянию от О до А' ($AO = OA'$).

Для каждого случая мы определим смещение от точки О к точке А по клеткам и применим противоположное смещение от точки О, чтобы найти симметричную точку А'.

а)

Чтобы попасть из точки O в точку A, необходимо сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Чтобы найти симметричную точку A', нужно от точки O сместиться в противоположных направлениях на те же расстояния: на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

Ответ: Симметричная точка находится на 2 клетки правее и на 1 клетку ниже точки O.

б)

Чтобы попасть из точки O в точку A, необходимо сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вниз. Следовательно, для нахождения симметричной точки A' нужно от точки O сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх.

Ответ: Симметричная точка находится на 2 клетки правее и на 1 клетку выше точки O.

в)

Чтобы попасть из точки O в точку A, необходимо сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Значит, симметричная точка A' будет расположена относительно точки O на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз.

Ответ: Симметричная точка находится на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки O.

7. Изобразите отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно центра $O$ (рис. 10.6).

а)

б)

в)

Рис. 10.6

Для построения отрезка, симметричного данному отрезку $AB$ относительно центра $O$, необходимо построить точки $A'$ и $B'$, которые симметричны концам исходного отрезка, точкам $A$ и $B$, относительно центра $O$. Искомый отрезок будет $A'B'$.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что точки $P$, $O$ и $P'$ лежат на одной прямой, и расстояние $PO$ равно расстоянию $OP'$.

Для построения на клетчатой бумаге можно использовать следующий метод: чтобы найти симметричную точку $P'$, нужно определить, на сколько клеток по горизонтали и вертикали нужно сместиться от центра $O$ до исходной точки $P$. Затем, чтобы найти точку $P'$, нужно сместиться от центра $O$ на такое же количество клеток, но в противоположных направлениях.

а)

1. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$.
Чтобы переместиться из центра $O$ в точку $A$, нужно сместиться на 2.5 клетки влево и на 1.5 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $A'$, необходимо от точки $O$ сместиться в противоположных направлениях: на 2.5 клетки вправо и на 1.5 клетки вниз.

2. Найдем точку $B'$, симметричную точке $B$.
Чтобы переместиться из центра $O$ в точку $B$, нужно сместиться на 0.5 клетки вправо и на 1.5 клетки вверх. Соответственно, для нахождения симметричной точки $B'$ нужно от точки $O$ сместиться на 0.5 клетки влево и на 1.5 клетки вниз.

3. Построим искомый отрезок $A'B'$.
Соединим точки $A'$ и $B'$. Полученный отрезок $A'B'$ — это и есть отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно центра $O$. Он будет параллелен и равен исходному отрезку $AB$.

Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ соединяет точки $A'$ и $B'$. Точка $A'$ получается смещением из точки $O$ на 2.5 клетки вправо и 1.5 клетки вниз. Точка $B'$ получается смещением из точки $O$ на 0.5 клетки влево и 1.5 клетки вниз.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$.
Смещение от $O$ к $A$: 0.5 клетки вправо и 1.5 клетки вверх. Для нахождения симметричной точки $A'$ смещаемся от $O$ на 0.5 клетки влево и на 1.5 клетки вниз.

2. Найдем точку $B'$, симметричную точке $B$.
Смещение от $O$ к $B$: 1.5 клетки вправо и 1.5 клетки вниз. Для нахождения симметричной точки $B'$ смещаемся от $O$ на 1.5 клетки влево и на 1.5 клетки вверх.

3. Построим искомый отрезок $A'B'$.
Соединяем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ является искомым.

Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ соединяет точки $A'$ и $B'$. Точка $A'$ получается смещением из точки $O$ на 0.5 клетки влево и 1.5 клетки вниз. Точка $B'$ получается смещением из точки $O$ на 1.5 клетки влево и 1.5 клетки вверх.

в)

Используем тот же алгоритм.

1. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$.
Смещение от $O$ к $A$: 1.5 клетки влево и 1.5 клетки вниз. Для нахождения симметричной точки $A'$ смещаемся от $O$ на 1.5 клетки вправо и на 1.5 клетки вверх.

2. Найдем точку $B'$, симметричную точке $B$.
Смещение от $O$ к $B$: 0.5 клетки влево и 1.5 клетки вверх. Для нахождения симметричной точки $B'$ смещаемся от $O$ на 0.5 клетки вправо и на 1.5 клетки вниз.

3. Построим искомый отрезок $A'B'$.
Соединяем точки $A'$ и $B'$, получая искомый отрезок.

Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ соединяет точки $A'$ и $B'$. Точка $A'$ получается смещением из точки $O$ на 1.5 клетки вправо и 1.5 клетки вверх. Точка $B'$ получается смещением из точки $O$ на 0.5 клетки вправо и 1.5 клетки вниз.