Страница 58 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите прямую, симметричную прямой $a$ относительно центра $O$ (рис. 10.9).

а)

б)

в)

Рис. 10.9

а)

Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой $a$ относительно центра $O$, нужно найти образы (симметричные точки) для двух любых точек прямой $a$ и провести через них новую прямую. Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Известно, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. В данном случае прямая $a$ является горизонтальной, и точка $O$ не лежит на ней. Следовательно, симметричная ей прямая $a'$ также будет горизонтальной.

Для нахождения положения прямой $a'$, найдем расстояние от прямой $a$ до точки $O$. Из рисунка видно, что точка $O$ находится на расстоянии одной клетки (одного единичного отрезка) выше прямой $a$. Симметричная прямая $a'$ должна находиться на таком же расстоянии от точки $O$, но с противоположной стороны. Таким образом, прямая $a'$ будет располагаться на одну клетку выше точки $O$ и, соответственно, на две клетки выше исходной прямой $a$.

Ответ: Симметричная прямая $a'$ — это горизонтальная прямая, параллельная прямой $a$ и расположенная на 2 клетки выше неё.

б)

В этом случае центр симметрии $O$ лежит на самой прямой $a$. Это можно увидеть, мысленно продолжив отрезок прямой $a$, изображенный на рисунке.

Если центр симметрии принадлежит прямой, то при симметрии относительно этого центра прямая отображается сама на себя. Это происходит потому, что для любой точки $M$, принадлежащей прямой $a$, симметричная ей точка $M'$ (для которой $O$ — середина отрезка $MM'$) также будет лежать на этой же прямой $a$. Таким образом, множество всех симметричных точек совпадает с множеством точек исходной прямой.

Ответ: Прямая, симметричная прямой $a$ относительно точки $O$, совпадает с самой прямой $a$.

в)

Здесь центр симметрии $O$ не принадлежит прямой $a$. Значит, симметричная прямая $a'$ будет параллельна исходной прямой $a$.

Для построения прямой $a'$ выберем две удобные точки на прямой $a$ (например, в узлах сетки) и построим их симметричные образы относительно точки $O$.

1. Выберем на прямой $a$ точку $A$. Пусть ее координаты, судя по сетке, равны (3, 1), если считать левый нижний узел за (0, 0), а центр $O$ имеет координаты (2, 3). Чтобы из точки $A$ попасть в точку $O$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $A'$, нужно выполнить такое же смещение от точки $O$: 1 клетка влево и 2 клетки вверх от $O$(2, 3) приведут нас в точку $A'$(1, 5).

2. Выберем на прямой $a$ вторую точку $B$ с координатами (4, 3). Чтобы из точки $B$ попасть в точку $O$, нужно сместиться на 2 клетки влево по горизонтали. Для нахождения симметричной точки $B'$, сместимся от $O$ на 2 клетки влево, получив точку $B'$(0, 3).

3. Проведем прямую через найденные точки $A'$(1, 5) и $B'$(0, 3). Эта прямая $a'$ и будет искомой. Она будет параллельна прямой $a$.

Ответ: Искомая прямая $a'$ параллельна прямой $a$ и проходит через точки, симметричные точкам прямой $a$ относительно центра $O$.

14. Укажите центр симметрии для двух симметричных: а) отрезков; б) треугольников; в) квадратов, изображенных на рисунке 10.10.

а)

б)

в)

Рис. 10.10

а) Центр симметрии двух фигур — это точка, являющаяся серединой отрезка, соединяющего любые две соответствующие симметричные точки. Для отрезков AB и CD, изображенных на рисунке, соответствующими точками являются их концы: точка A соответствует точке D, а точка B — точке C. Чтобы найти центр симметрии, найдем середину отрезка AD (или BC).

Введем систему координат, где левый нижний узел сетки — это начало координат, точка (0,0). Тогда координаты вершин будут следующими:

A = (1, 1)

B = (4, 0)

C = (1, 4)

D = (4, 3)

Координаты середины O отрезка AD вычисляются по формулам: $O_x = \frac{x_A+x_D}{2}$ и $O_y = \frac{y_A+y_D}{2}$.

Подставим значения: $O_x = \frac{1+4}{2} = 2.5$ и $O_y = \frac{1+3}{2} = 2$.

Таким образом, центр симметрии — точка O(2.5, 2). Проверим результат, найдя середину отрезка BC: $O_x = \frac{4+1}{2} = 2.5$ и $O_y = \frac{0+4}{2} = 2$. Результаты совпадают.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (2.5, 2), если принять левый нижний узел сетки за начало координат.

б) Для нахождения центра симметрии двух треугольников ABC и DEF необходимо найти середину отрезка, соединяющего их соответствующие вершины. Из рисунка видно, что вершине A соответствует вершина D, B — E, и C — F.

Введем систему координат с началом в левом нижнем углу левой сетки. Координаты вершин:

A = (1, 3)

B = (2, 1)

C = (3, 2)

D = (7, 2)

E = (6, 4)

F = (5, 3)

Найдем координаты середины O отрезка, соединяющего соответствующие вершины A и D: $O_x = \frac{1+7}{2} = 4$ и $O_y = \frac{3+2}{2} = 2.5$.

Итак, предполагаемый центр симметрии — точка O(4, 2.5). Убедимся, что эта же точка является серединой отрезков BE и CF. Для BE: $O_x = \frac{2+6}{2} = 4$, $O_y = \frac{1+4}{2} = 2.5$. Для CF: $O_x = \frac{3+5}{2} = 4$, $O_y = \frac{2+3}{2} = 2.5$. Все вычисления дают один и тот же результат.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (4, 2.5) в системе координат, где левый нижний узел левой сетки — начало координат.

в) Центр симметрии двух квадратов ABCD и EFGH также можно найти как середину отрезка, соединяющего любую пару соответствующих вершин. Судя по расположению фигур, вершине A соответствует вершина F, B — G, C — H, и D — E.

Введем систему координат с началом в левом нижнем углу левой сетки. Координаты вершин:

A = (1, 2)

B = (2, 0)

C = (4, 1)

D = (3, 3)

E = (6, 1)

F = (8, 2)

G = (7, 4)

H = (5, 3)

Найдем координаты середины O отрезка, соединяющего соответствующие вершины A и F: $O_x = \frac{1+8}{2} = 4.5$ и $O_y = \frac{2+2}{2} = 2$.

Центр симметрии — точка O(4.5, 2). Проверка по другой паре вершин, например D и E, подтверждает этот результат: $O_x = \frac{3+6}{2} = 4.5$ и $O_y = \frac{3+1}{2} = 2$.

Ответ: Центр симметрии — точка с координатами (4.5, 2) в системе координат, где левый нижний узел левой сетки — начало координат.

15. Казахский орнамент уникален, как и любой другой. Несмотря на то что с латинского термин "орнамент" переводится как украшение, ученые приходят к выводу, что в каждом национальном узоре хранится какая-то информация. На рисунке 10.11 изображены некоторые казахские орнаменты. Какие из орнаментов имеют центр симметрии, если имеют, то укажите их.

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 10.11

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) означает, что существует такая точка (центр симметрии), при повороте вокруг которой на $180^\circ$ фигура совмещается сама с собой. Для каждой точки фигуры $A$ должна существовать симметричная ей точка $A'$, также принадлежащая фигуре. Проверим каждый орнамент.

а) Этот орнамент является центрально-симметричным. Его центр симметрии находится в геометрическом центре фигуры. Если мы мысленно проведем линию через центр от любой точки на узоре, она пересечет узор в другой точке на том же расстоянии от центра. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра совмещает фигуру с самой собой.
Ответ: орнамент а) имеет центр симметрии.

б) Этот орнамент имеет вертикальную ось симметрии, но не имеет центра симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой предполагаемой центральной точки верхняя часть орнамента (заостренная) и нижняя (в виде крестика) поменяются местами, но не совпадут, так как они имеют разную форму.
Ответ: орнамент б) не имеет центра симметрии.

в) Этот узор является ленточным орнаментом и имеет множество центров симметрии. Центром симметрии является, например, центр любого из ромбовидных звеньев, а также точка их соединения. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих точек орнамент переходит сам в себя.
Ответ: орнамент в) имеет центры симметрии.

г) Данный орнамент, состоящий из четырех ромбов, имеет центр симметрии. Он расположен в точке, где сходятся вершины всех четырех ромбов. При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки верхний ромб перейдет в нижний, а правый — в левый, и фигура полностью совпадет с исходной.
Ответ: орнамент г) имеет центр симметрии.

д) Этот орнамент, как и орнамент б), имеет только ось симметрии (вертикальную). Его верхняя и нижняя части неидентичны. Поворот на $180^\circ$ не приведет к совмещению фигуры с самой собой.
Ответ: орнамент д) не имеет центра симметрии.