Страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется поворотом вокруг точки?

2. Сохраняет ли поворот расстояния между точками?

3. Куда при повороте переходят отрезок, луч, прямая?

4. Сохраняет ли поворот величины углов?

5. Что называется центром симметрии n-го порядка фигуры?

1. Что называется поворотом вокруг точки?
Поворот вокруг точки (или поворот плоскости) — это геометрическое преобразование, которое задается центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. При таком преобразовании каждая точка $M$ на плоскости отображается в точку $M'$ таким образом, что выполняются два условия:
1. Расстояние от точки $M$ до центра $O$ равно расстоянию от ее образа $M'$ до центра $O$, то есть $OM = OM'$.
2. Угол между отрезками $OM$ и $OM'$, то есть $\angle MOM'$, равен углу поворота $\alpha$.
Сам центр поворота $O$ при этом преобразовании остается неподвижным. Угол поворота может быть положительным (обычно соответствует повороту против часовой стрелки) или отрицательным (по часовой стрелке).
Ответ: Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование, отображающее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что $OM' = OM$ и $\angle MOM' = \alpha$.

2. Сохраняет ли поворот расстояния между точками?
Да, поворот сохраняет расстояния между точками. Поворот является видом движения (или изометрии), а любое движение по определению сохраняет расстояния. Чтобы это доказать, рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ и их образы $A'$ и $B'$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $\alpha$. Сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. По определению поворота, $OA = OA'$ и $OB = OB'$. Так как вся плоскость поворачивается как единое целое, угол между лучами $OA$ и $OB$ сохраняется, то есть $\angle AOB = \angle A'OB'$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Это означает, что расстояние между точками $A$ и $B$ не изменилось.
Ответ: Да, поворот сохраняет расстояние между точками, так как является движением.

3. Куда при повороте переходят отрезок, луч, прямая?
Поскольку поворот является движением и сохраняет расстояния, он переводит геометрические фигуры в равные им (конгруэнтные) фигуры. Таким образом:
• Отрезок при повороте переходит в отрезок такой же длины.
• Луч переходит в луч.
• Прямая переходит в прямую.
Образ фигуры будет иметь то же положение относительно центра поворота, что и исходная фигура, но повернутое на заданный угол. Например, если центр поворота $O$ лежит на прямой $a$, то ее образ, прямая $a'$, тоже будет проходить через точку $O$, образуя с прямой $a$ угол, равный углу поворота.
Ответ: При повороте отрезок переходит в равный ему отрезок, луч — в луч, а прямая — в прямую.

4. Сохраняет ли поворот величины углов?
Да, поворот сохраняет величины углов. Это фундаментальное свойство всех движений. Доказательство можно построить на основе сохранения расстояний. Рассмотрим произвольный угол $\angle ABC$. При повороте точки $A$, $B$, $C$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$. Как было доказано ранее, поворот сохраняет расстояния, поэтому $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ переходит в равный ему треугольник $\triangle A'B'C'$ (по третьему признаку равенства треугольников — по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle ABC = \angle A'B'C'$.
Ответ: Да, поворот сохраняет величины углов.

5. Что называется центром симметрии n-го порядка фигуры?
Точка $O$ называется центром симметрии $n$-го порядка (или центром поворотной симметрии $n$-го порядка) для некоторой фигуры $F$, если поворот этой фигуры вокруг точки $O$ на угол $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) совмещает фигуру саму с собой. Иными словами, фигура инвариантна относительно такого поворота. Например, центр квадрата является его центром симметрии 4-го порядка, так как поворот на $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ отображает квадрат на себя. Центр равностороннего треугольника — центр симметрии 3-го порядка (угол $120^\circ$). При $n=2$ поворот осуществляется на $180^\circ$, и такой центр называют центром центральной симметрии.
Ответ: Центр симметрии $n$-го порядка фигуры — это точка, поворот вокруг которой на угол $\frac{360^\circ}{n}$ совмещает фигуру с самой собой.

1. Изобразите точку $A'$, полученную из точки $A$ поворотом вокруг точки $O$ на угол: а) $90^\circ$;б) $270^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Для решения задачи введем систему координат, в которой точка O является началом координат $(0, 0)$. Шаг сетки примем за единицу. В этой системе координат точка A, смещенная на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз от точки O, имеет координаты $(2, -1)$.

Поворот точки — это геометрическое преобразование, при котором точка перемещается по дуге окружности с центром в точке поворота (в нашем случае O) на заданный угол. Расстояние от центра поворота до точки при этом сохраняется (то есть $OA = OA'$).

а) Поворот на 90° против часовой стрелки

При повороте точки с координатами $(x, y)$ на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат ее новые координаты $(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = -y$

$y' = x$

Применим эти формулы для точки A с координатами $(2, -1)$:

$x' = -(-1) = 1$

$y' = 2$

Таким образом, точка A', полученная поворотом точки A на 90° против часовой стрелки, будет иметь координаты $(1, 2)$. Это означает, что для ее построения нужно от точки O отступить 1 клетку вправо и 2 клетки вверх.

Ответ: Координаты точки A' равны $(1, 2)$.

б) Поворот на 270° против часовой стрелки

Поворот на 270° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 90° по часовой стрелке. При повороте точки с координатами $(x, y)$ на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат ее новые координаты $(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = y$

$y' = -x$

Применим эти формулы для точки A с координатами $(2, -1)$:

$x' = -1$

$y' = -2$

Таким образом, точка A', полученная поворотом точки A на 270° против часовой стрелки, будет иметь координаты $(-1, -2)$. Это означает, что для ее построения нужно от точки O отступить 1 клетку влево и 2 клетки вниз.

Ответ: Координаты точки A' равны $(-1, -2)$.

Ниже представлено графическое решение задачи, где синим цветом обозначена точка для пункта а), а красным — для пункта б).

2. Изобразите отрезок $A'B'$, полученный из отрезка $AB$ поворотом вокруг точки $O$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке (рис. 11.6).

Рис. 11.6

Чтобы найти отрезок A'B', полученный поворотом отрезка AB вокруг точки O на 90° по часовой стрелке, необходимо повернуть концы отрезка, точки A и B, вокруг центра O на указанный угол. Соединив новые точки A' и B', мы получим искомый отрезок.

Введем систему координат с центром в точке O. За единицу измерения примем длину стороны одной клетки.

• Поворот точки A. Точка A расположена на 2 клетки левее и 1 клетку выше точки O, следовательно, её координаты $A(-2, 1)$. Формула поворота точки $(x, y)$ на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат: $(x', y') = (y, -x)$. Применяя эту формулу, находим координаты точки A': $A' = (1, -(-2)) = (1, 2)$. Это значит, что точка A' расположена на 1 клетку правее и 2 клетки выше точки O.
• Поворот точки B. Точка B расположена на 1 клетку левее и 2 клетки ниже точки O, её координаты $B(-1, -2)$. Применяя ту же формулу поворота, находим координаты точки B': $B' = (-2, -(-1)) = (-2, 1)$. Эти координаты совпадают с исходными координатами точки A. Таким образом, точка B' находится в том же месте, что и исходная точка A.

Соединив точки A' и B', мы получаем искомый отрезок A'B'. На рисунке ниже исходный отрезок AB показан бирюзовым цветом, а полученный в результате поворота отрезок A'B' — красным.

Ответ: Отрезок A'B' изображен на рисунке красной пунктирной линией. Его концами являются точка A' (расположенная на 1 клетку правее и 2 клетки выше точки O) и точка B', которая совпадает с исходной точкой A.

3.

Изобразите треугольник $A'B'C'$, полученный из треугольника $ABC$ поворотом вокруг точки $O$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.7).

Рис. 11.7

Изобразите треугольник A'B'C', полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки O на угол 270° против часовой стрелки (рис. 11.7).

Для того чтобы построить треугольник $A'B'C'$, нужно повернуть каждую вершину исходного треугольника $ABC$ вокруг точки $O$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки. Наиболее точный способ сделать это — использовать координатный метод.

1. Введем систему координат, в которой точка $O$ является началом координат, то есть имеет координаты $(0, 0)$. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

2. Определим координаты вершин треугольника $ABC$ относительно точки $O$:

- Вершина $A$ смещена от $O$ на 2 клетки влево и 1 клетку вверх, значит ее координаты $A(-2, 1)$.

- Вершина $B$ смещена от $O$ на 2 клетки влево и 2 клетки вниз, значит ее координаты $B(-2, -2)$.

- Вершина $C$ смещена от $O$ на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, значит ее координаты $C(3, 1)$.

3. Применим формулу поворота точки $(x, y)$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Новые координаты $(x', y')$ находятся по правилу $(x, y) \rightarrow (y, -x)$. Это правило получается из общих формул поворота:

$x' = x \cos(270^\circ) - y \sin(270^\circ) = x \cdot 0 - y \cdot (-1) = y$

$y' = x \sin(270^\circ) + y \cos(270^\circ) = x \cdot (-1) + y \cdot 0 = -x$

4. Вычислим новые координаты для каждой вершины:

- Для точки $A(-2, 1)$: новые координаты $A'(1, -(-2)) = (1, 2)$.

- Для точки $B(-2, -2)$: новые координаты $B'(-2, -(-2)) = (-2, 2)$.

- Для точки $C(3, 1)$: новые координаты $C'(1, -3)$.

5. Для построения искомого треугольника $A'B'C'$ нужно отметить на сетке новые точки относительно центра $O$: $A'$ (1 клетка вправо, 2 вверх), $B'$ (2 клетки влево, 2 вверх) и $C'$ (1 клетка вправо, 3 вниз). Затем соединить эти точки отрезками.

Ответ: Вершины искомого треугольника $A'B'C'$ имеют следующие координаты относительно точки $O$: $A'(1, 2)$, $B'(-2, 2)$ и $C'(1, -3)$.

4. На какой наименьший угол нужно повернуть квадрат вокруг центра описанной около него окружности, чтобы он совместился сам с собой?

Центр описанной около квадрата окружности является его центром симметрии. Это точка пересечения его диагоналей. Чтобы квадрат при повороте вокруг своего центра совместился сам с собой, необходимо, чтобы его вершины перешли в положения, которые до поворота занимали другие его вершины.

У квадрата 4 вершины. Представим, что мы поворачиваем квадрат до тех пор, пока каждая вершина не займет место соседней. Такой поворот приведет к самосовмещению фигуры. Угол этого поворота будет равен центральному углу, который образуют два радиуса, проведенные из центра окружности к двум соседним вершинам квадрата.

Полный угол вокруг центра составляет $360^\circ$. Так как у квадрата четыре равные стороны, то и четыре центральных угла, опирающихся на эти стороны, равны между собой. Чтобы найти величину одного такого угла, нужно полный угол разделить на количество вершин (или сторон) квадрата, то есть на 4.

Вычислим наименьший угол поворота $\alpha$:

$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Таким образом, при повороте на $90^\circ$ вокруг центра описанной окружности квадрат совместится сам с собой. Это наименьший положительный угол, при котором происходит самосовмещение.

Ответ: $90^\circ$.

5. Точка B получена поворотом точки A на угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке (рис. 11.8). Укажите центр поворота.

Рис. 11.8

Для нахождения центра поворота $O$ воспользуемся его геометрическими свойствами. Центр поворота — это точка, равноудаленная от начальной точки $A$ и конечной точки $B$. Кроме того, угол $\angle AOB$ равен углу поворота, то есть $90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным и прямоугольным.

Чтобы найти координаты центра поворота, введем систему координат. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке соответствует началу координат $(0, 0)$. Тогда каждая клетка имеет размер $1 \times 1$.

В этой системе координат точка $A$ имеет координаты $(4, 6)$, а точка $B$ — координаты $(2, 2)$.

Пусть искомый центр поворота $O$ имеет координаты $(x, y)$.

Поскольку точка $B$ получена из точки $A$ поворотом на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг центра $O(x, y)$, то вектор $\vec{OB}$ получается из вектора $\vec{OA}$ поворотом на тот же угол.

Запишем координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{OA} = (x_A - x, y_A - y) = (4 - x, 6 - y)$

$\vec{OB} = (x_B - x, y_B - y) = (2 - x, 2 - y)$

При повороте вектора с координатами $(u, v)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке его новые координаты становятся $(v, -u)$. Применим это правило к вектору $\vec{OA}$. Его образ после поворота должен быть равен вектору $\vec{OB}$:

$(6 - y, -(4 - x)) = (2 - x, 2 - y)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 6 - y = 2 - x \\ -(4 - x) = 2 - y \end{cases}$

Упростим эту систему:

$\begin{cases} x - y = 2 - 6 \\ x - 4 = 2 - y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x - y) + (x + y) = -4 + 6$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы ($x + y = 6$):

$1 + y = 6$

$y = 5$

Таким образом, центр поворота $O$ имеет координаты $(1, 5)$.

Эта точка находится на 3 клетки влево и 1 клетку вниз от точки A.

Ответ: Центр поворота — это точка с координатами $(1, 5)$, если принять за начало координат левый нижний узел сетки.

6. Отрезок $A'B'$ получен поворотом отрезка $AB$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.9). Укажите центр поворота.

Рис. 11.9

Для того чтобы найти центр поворота, нужно использовать его основное свойство: любая точка и ее образ, полученный в результате поворота, находятся на одинаковом расстоянии от центра поворота. Это означает, что центр поворота O должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответственные точки. В данном случае, центр поворота O — это точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AA' и серединного перпендикуляра к отрезку BB'.

Введем на рисунке декартову систему координат. Пусть левый нижний узел сетки будет началом координат, точкой (0, 0), а шаг сетки равен 1. Тогда координаты вершин отрезков будут следующими: $A(4, 3)$, $B(1, 4)$, $A'(1, 2)$ и $B'(0, -1)$.

1. Нахождение серединного перпендикуляра к отрезку AA'.
Найдем координаты середины отрезка AA', точки $M_A$:$M_A = \left(\frac{x_A+x_{A'}}{2}; \frac{y_A+y_{A'}}{2}\right) = \left(\frac{4+1}{2}; \frac{3+2}{2}\right) = (2.5; 2.5)$.
Найдем угловой коэффициент прямой AA':$k_{AA'} = \frac{y_{A'} - y_A}{x_{A'} - x_A} = \frac{2-3}{1-4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_1$ будет равен $-\frac{1}{k_{AA'}}$:$k_1 = -3$.
Уравнение серединного перпендикуляра (прямой, проходящей через $M_A$ с коэффициентом $k_1$):$y - 2.5 = -3(x - 2.5)$
$y = -3x + 7.5 + 2.5$
$y = -3x + 10$.

2. Нахождение серединного перпендикуляра к отрезку BB'.
Найдем координаты середины отрезка BB', точки $M_B$:$M_B = \left(\frac{x_B+x_{B'}}{2}; \frac{y_B+y_{B'}}{2}\right) = \left(\frac{1+0}{2}; \frac{4+(-1)}{2}\right) = (0.5; 1.5)$.
Найдем угловой коэффициент прямой BB':$k_{BB'} = \frac{y_{B'} - y_B}{x_{B'} - x_B} = \frac{-1-4}{0-1} = \frac{-5}{-1} = 5$.
Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_2$ равен $-\frac{1}{k_{BB'}}$:$k_2 = -\frac{1}{5}$.
Уравнение серединного перпендикуляра (прямой, проходящей через $M_B$ с коэффициентом $k_2$):$y - 1.5 = -\frac{1}{5}(x - 0.5)$
$y = -0.2x + 0.1 + 1.5$
$y = -0.2x + 1.6$.

3. Нахождение точки пересечения серединных перпендикуляров.
Чтобы найти координаты центра поворота, решим систему уравнений, составленных из уравнений двух перпендикуляров:$ \begin{cases} y = -3x + 10 \\ y = -0.2x + 1.6 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:$-3x + 10 = -0.2x + 1.6$
$10 - 1.6 = 3x - 0.2x$
$8.4 = 2.8x$
$x = \frac{8.4}{2.8} = 3$.
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:$y = -3 \cdot 3 + 10 = -9 + 10 = 1$.
Координаты центра поворота O — (3, 1). Если посмотреть на рисунок, эта точка находится на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх от левого нижнего угла сетки.

Ответ: Центр поворота — точка с координатами (3, 1) в заданной системе координат.

7. Треугольник $DEF$ получен поворотом треугольника $ABC$ (рис. 11.10). Укажите центр поворота.

a)

б)

Рис. 11.10

а) Чтобы найти центр поворота, который преобразует треугольник $ABC$ в треугольник $DEF$, мы можем использовать метод серединных перпендикуляров. Центр поворота равноудален от любой соответствующей пары точек (например, от $A$ и $D$, от $B$ и $E$, и т.д.) и, следовательно, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки.Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Тогда вершины треугольников имеют следующие координаты: $A(0, 1)$, $B(2, 1)$, $C(1, 3)$ и $D(5, 1)$, $E(5, 3)$, $F(3, 2)$. По условию, треугольник $DEF$ получен поворотом треугольника $ABC$, значит, вершина $A$ переходит в $D$, $B$ в $E$, а $C$ в $F$.Найдем серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Координаты серединной точки отрезка $AD$: $M_{AD} = (\frac{0+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2.5, 1)$. Так как отрезок $AD$ горизонтален, его серединный перпендикуляр будет вертикальной линией, проходящей через точку $M_{AD}$. Уравнение этой линии: $x = 2.5$.Теперь найдем серединный перпендикуляр к отрезку $CF$. Координаты серединной точки отрезка $CF$: $M_{CF} = (\frac{1+3}{2}, \frac{3+2}{2}) = (2, 2.5)$. Угловой коэффициент прямой $CF$ равен $k_{CF} = \frac{2-3}{3-1} = -\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CF}} = 2$. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{CF}$: $y - 2.5 = 2(x - 2)$, что упрощается до $y = 2x - 1.5$.Чтобы найти центр поворота, решим систему из двух уравнений:$x = 2.5$$y = 2x - 1.5$Подставляя $x$ во второе уравнение, получаем: $y = 2(2.5) - 1.5 = 5 - 1.5 = 3.5$.Таким образом, центр поворота находится в точке с координатами $(2.5, 3.5)$.
Ответ: Центр поворота — точка с координатами $(2.5, 3.5)$, если принять левый нижний узел сетки за начало координат.

б) Введем систему координат с началом в левом нижнем углу сетки. Координаты вершин: $A(0, 4)$, $B(3, 5)$, $C(4, 3)$ и $D(2, 4)$, $E(1, 1)$, $F(4, 2)$.Поворот является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Найдем длины сторон треугольников, чтобы проверить, являются ли они конгруэнтными.Для $\triangle ABC$:$|AB|^2 = (3-0)^2 + (5-4)^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \implies |AB| = \sqrt{10}$$|BC|^2 = (4-3)^2 + (3-5)^2 = 1^2 + (-2)^2 = 5 \implies |BC| = \sqrt{5}$$|AC|^2 = (4-0)^2 + (3-4)^2 = 4^2 + (-1)^2 = 17 \implies |AC| = \sqrt{17}$Для $\triangle DEF$:$|DE|^2 = (1-2)^2 + (1-4)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 10 \implies |DE| = \sqrt{10}$$|EF|^2 = (4-1)^2 + (2-1)^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \implies |EF| = \sqrt{10}$$|DF|^2 = (4-2)^2 + (2-4)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \implies |DF| = \sqrt{8}$Наборы длин сторон ($\sqrt{10}, \sqrt{5}, \sqrt{17}$ и $\sqrt{10}, \sqrt{10}, \sqrt{8}$) не совпадают, следовательно, треугольники $ABC$ и $DEF$ не конгруэнтны. Это означает, что в условии задачи или в рисунке содержится ошибка, так как один треугольник нельзя получить из другого поворотом.Предположим, что в рисунке допущена опечатка и вершина $C$ треугольника $ABC$ на самом деле находится в точке $C'(2, 2)$, а не $(4, 3)$. Проверим, будет ли в этом случае треугольник $ABC'$ конгруэнтен треугольнику $DEF$.Стороны $\triangle ABC'$:$|AB| = \sqrt{10}$ (не изменилась)$|BC'|^2 = (3-2)^2 + (5-2)^2 = 1^2 + 3^2 = 10 \implies |BC'| = \sqrt{10}$$|AC'|^2 = (2-0)^2 + (2-4)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \implies |AC'| = \sqrt{8}$Теперь $\triangle ABC'$ со сторонами $\sqrt{10}, \sqrt{10}, \sqrt{8}$ конгруэнтен $\triangle DEF$.Установим соответствие вершин. Сторона $|AC'|=\sqrt{8}$ соответствует стороне $|DF|=\sqrt{8}$. Стороны $|AB|=\sqrt{10}$ и $|BC'|=\sqrt{10}$ соответствуют сторонам $|DE|=\sqrt{10}$ и $|EF|=\sqrt{10}$.Отсюда следует соответствие вершин: $A(0, 4) \rightarrow F(4, 2)$, $B(3, 5) \rightarrow E(1, 1)$, $C'(2, 2) \rightarrow D(2, 4)$.Найдем центр поворота как точку пересечения серединных перпендикуляров.Для отрезка $AF$: середина $(\frac{0+4}{2}, \frac{4+2}{2}) = (2, 3)$. Угловой коэффициент $k_{AF}=\frac{2-4}{4-0}=-\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $k_{\perp}=2$.Для отрезка $BE$: середина $(\frac{3+1}{2}, \frac{5+1}{2}) = (2, 3)$.Поскольку серединные точки отрезков $AF$ и $BE$ совпадают, эта точка и есть центр поворота. Проверим ее для пары $C'D$.Для отрезка $C'D$: середина $(\frac{2+2}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$.Все три серединных перпендикуляра пересекаются в точке $(2, 3)$.
Ответ: В условии задачи содержится ошибка. Если предположить, что вершина $C$ находится в точке $(2, 2)$, то центром поворота будет точка с координатами $(2, 3)$.