Страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите это самостоятельно.

Выясните, каким преобразованием является композиция двух осевых симметрий относительно параллельных прямых.

Выясните, каким преобразованием является композиция двух осевых симметрий относительно параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Пусть $S_1$ — осевая симметрия (отражение) относительно прямой $l_1$, а $S_2$ — осевая симметрия относительно прямой $l_2$. Нам необходимо определить результат композиции этих преобразований $T = S_2 \circ S_1$, то есть последовательного применения сначала симметрии $S_1$, а затем $S_2$.

Возьмем произвольную точку $M$ на плоскости и найдем ее образ $M'' = T(M)$.

Сначала применим симметрию $S_1$. Пусть $M' = S_1(M)$. По определению осевой симметрии, отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $l_1$ и делится ею пополам. Обозначим точку пересечения отрезка $MM'$ и прямой $l_1$ как $P_1$. Тогда $P_1$ — середина $MM'$.

Затем применим симметрию $S_2$ к точке $M'$. Пусть $M'' = S_2(M')$. Аналогично, отрезок $M'M''$ перпендикулярен прямой $l_2$ и делится ею пополам. Обозначим точку пересечения отрезка $M'M''$ и прямой $l_2$ как $P_2$. Тогда $P_2$ — середина $M'M''$.

Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, а отрезки $MM'$ и $M'M''$ перпендикулярны им, то все точки $M$, $P_1$, $M'$, $P_2$ и $M''$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна прямым $l_1$ и $l_2$.

Найдем вектор смещения $\vec{MM''}$ из точки $M$ в точку $M''$. Вектор смещения можно представить как сумму векторов:
$\vec{MM''} = \vec{MM'} + \vec{M'M''}$

Поскольку $P_1$ является серединой отрезка $MM'$, то $\vec{MM'} = 2\vec{MP_1}$.
Поскольку $P_2$ является серединой отрезка $M'M''$, то $\vec{M'M''} = 2\vec{M'P_2}$.

Подставим эти выражения в формулу для вектора смещения:
$\vec{MM''} = 2\vec{MP_1} + 2\vec{M'P_2} = 2(\vec{MP_1} + \vec{M'P_2})$

Представим вектор $\vec{M'P_2}$ в виде суммы векторов, используя правило треугольника: $\vec{M'P_2} = \vec{M'P_1} + \vec{P_1P_2}$.
Тогда:
$\vec{MM''} = 2(\vec{MP_1} + \vec{M'P_1} + \vec{P_1P_2})$

Так как $P_1$ — середина $MM'$, векторы $\vec{MP_1}$ и $\vec{M'P_1}$ равны по длине и противоположны по направлению, следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MP_1} + \vec{M'P_1} = \vec{0}$.

В итоге получаем:
$\vec{MM''} = 2(\vec{0} + \vec{P_1P_2}) = 2\vec{P_1P_2}$

Вектор $\vec{P_1P_2}$ является вектором, проведенным перпендикулярно от прямой $l_1$ к прямой $l_2$. Его длина $d$ равна расстоянию между прямыми, а его направление и длина не зависят от выбора исходной точки $M$. Таким образом, преобразование $T$ сдвигает каждую точку плоскости на один и тот же постоянный вектор $\vec{a} = 2\vec{P_1P_2}$.

Такое преобразование по определению является параллельным переносом. Направление переноса перпендикулярно осям симметрии (от первой ко второй), а величина (модуль вектора переноса) равна удвоенному расстоянию между осями.

Ответ: Композиция двух осевых симметрий относительно параллельных прямых является параллельным переносом.