Страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 11.11

13. Точка A удалена от центра окружности радиусом 1 на расстояние 2 (рис. 11.11). На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

Пусть $O$ — центр исходной окружности, а $R$ — ее радиус. По условию задачи, $R=1$. Точка $A$ находится на расстоянии $OA=2$ от центра $O$.

При повороте исходной окружности вокруг точки $A$ на угол $\alpha$ мы получаем новую окружность, равную исходной. Пусть $O'$ — центр новой, повернутой окружности. Поскольку поворот является движением, он сохраняет расстояния. Следовательно, радиус новой окружности также равен $R=1$. Расстояние от центра поворота $A$ до центра окружности не меняется, то есть $AO' = AO = 2$.

Условие, чтобы повернутая окружность касалась исходной, означает, что расстояние между их центрами $O$ и $O'$ должно быть равно сумме их радиусов (для внешнего касания) или разности их радиусов (для внутреннего). Так как радиусы окружностей одинаковы ($R=1$), внутреннее касание означало бы, что центры совпадают ($OO'=0$), что возможно только при нулевом угле поворота. Мы ищем наименьший ненулевой угол, поэтому рассмотрим случай внешнего касания.

Для внешнего касания расстояние между центрами должно быть равно сумме радиусов: $OO' = R + R = 1 + 1 = 2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOO'$. Мы знаем длины всех его сторон:

• $AO = 2$ (по условию задачи).
• $AO' = 2$ (поскольку $O'$ — это образ точки $O$ при повороте вокруг $A$).
• $OO' = 2$ (из условия касания окружностей).

Так как все стороны треугольника $\triangle AOO'$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Угол поворота окружности вокруг точки $A$ — это угол, на который повернулся ее центр $O$, то есть угол $\angle OAO'$. В нашем равностороннем треугольнике $\triangle AOO'$ этот угол равен $60^\circ$. Это и есть наименьший положительный угол, на который нужно повернуть окружность.

Ответ: $60^\circ$.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

14. Какими общими свойствами обладают параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия и поворот?

Параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия и поворот являются видами геометрических преобразований, которые в совокупности называются движениями или изометриями. Движение — это преобразование плоскости (или пространства), сохраняющее расстояния между точками. Все перечисленные преобразования обладают следующими общими свойствами:

Сохранение расстояний (изометричность). Это основное и определяющее свойство. Если взять любые две точки $A$ и $B$ на плоскости, и при преобразовании они переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между исходными точками равно расстоянию между их образами. Математически это записывается так: $|AB| = |A'B'|$.

Сохранение формы и размера фигур. Вследствие сохранения расстояний, любая геометрическая фигура при движении преобразуется в равную (конгруэнтную) ей фигуру. Например, отрезок переходит в равный ему отрезок, треугольник — в равный ему треугольник, а окружность — в окружность того же радиуса.

Преобразование прямых в прямые. Любая прямая при движении переходит в прямую. Если точки $A$, $B$ и $C$ лежали на одной прямой, то их образы $A'$, $B'$ и $C'$ также будут лежать на одной прямой.

Сохранение углов. Величина любого угла сохраняется при движении. Если у нас есть угол $\angle ABC$, то после преобразования он перейдет в угол $\angle A'B'C'$, причем величина этих углов будет одинаковой: $\angle ABC = \angle A'B'C'$.

Сохранение параллельности. Если две прямые были параллельны, то их образы после любого из этих преобразований также будут параллельными прямыми.

Таким образом, все эти преобразования "перемещают" фигуры как единое целое, не деформируя их, то есть не изменяя их размеров и формы.

Ответ: Общим свойством параллельного переноса, осевой симметрии, центральной симметрии и поворота является то, что все они являются движениями (изометриями), то есть преобразованиями, сохраняющими расстояния между точками. Как следствие, они также сохраняют углы, параллельность прямых, а любую фигуру переводят в равную (конгруэнтную) ей фигуру.