Номер 13, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 11.11

13. Точка A удалена от центра окружности радиусом 1 на расстояние 2 (рис. 11.11). На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

Пусть $O$ — центр исходной окружности, а $R$ — ее радиус. По условию задачи, $R=1$. Точка $A$ находится на расстоянии $OA=2$ от центра $O$.

При повороте исходной окружности вокруг точки $A$ на угол $\alpha$ мы получаем новую окружность, равную исходной. Пусть $O'$ — центр новой, повернутой окружности. Поскольку поворот является движением, он сохраняет расстояния. Следовательно, радиус новой окружности также равен $R=1$. Расстояние от центра поворота $A$ до центра окружности не меняется, то есть $AO' = AO = 2$.

Условие, чтобы повернутая окружность касалась исходной, означает, что расстояние между их центрами $O$ и $O'$ должно быть равно сумме их радиусов (для внешнего касания) или разности их радиусов (для внутреннего). Так как радиусы окружностей одинаковы ($R=1$), внутреннее касание означало бы, что центры совпадают ($OO'=0$), что возможно только при нулевом угле поворота. Мы ищем наименьший ненулевой угол, поэтому рассмотрим случай внешнего касания.

Для внешнего касания расстояние между центрами должно быть равно сумме радиусов: $OO' = R + R = 1 + 1 = 2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOO'$. Мы знаем длины всех его сторон:

• $AO = 2$ (по условию задачи).
• $AO' = 2$ (поскольку $O'$ — это образ точки $O$ при повороте вокруг $A$).
• $OO' = 2$ (из условия касания окружностей).

Так как все стороны треугольника $\triangle AOO'$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Угол поворота окружности вокруг точки $A$ — это угол, на который повернулся ее центр $O$, то есть угол $\angle OAO'$. В нашем равностороннем треугольнике $\triangle AOO'$ этот угол равен $60^\circ$. Это и есть наименьший положительный угол, на который нужно повернуть окружность.

Ответ: $60^\circ$.