Номер 10, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Правильный треугольник повернули на $60^\circ$ вокруг центра описанной окружности. Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного треугольников? Найдите его сторону, если сторона исходного треугольника равна 1.

Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного треугольников?

Пусть исходный правильный треугольник $T_1$ с центром $O$. Мы поворачиваем его на $60^\circ$ вокруг точки $O$ и получаем новый треугольник $T_2$.

Правильный треугольник обладает вращательной симметрией 3-го порядка (углы поворота, совмещающие треугольник с собой, равны $120^\circ$ и $240^\circ$). Поворот на $60^\circ$ не совмещает треугольник с самим собой, но создает фигуру (объединение $T_1$ и $T_2$), которая имеет вид шестиконечной звезды (гексаграммы или Звезды Давида). Эта фигура обладает вращательной симметрией 6-го порядка (угол поворота $60^\circ$).

Общей частью (пересечением) треугольников $T_1$ и $T_2$ является многоугольник, расположенный в центре этой симметричной фигуры. В силу симметрии всей конструкции, этот многоугольник должен быть правильным.

Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения сторон треугольника $T_1$ со сторонами треугольника $T_2$. Каждая сторона одного треугольника пересекает две стороны другого, в результате чего образуется 6 точек пересечения. Следовательно, искомый многоугольник является шестиугольником.

Так как этот шестиугольник обладает вращательной симметрией 6-го порядка, все его стороны и углы равны. Таким образом, он является правильным шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник.

Найдите его сторону, если сторона исходного треугольника равна 1.

Пусть сторона исходного правильного треугольника $ABC$ равна $a=1$. Общая часть представляет собой правильный шестиугольник, который образуется в центре, а по углам исходного треугольника "отсекаются" три маленьких правильных треугольника.

Рассмотрим один из углов исходного треугольника, например, при вершине $A$. Этот угол отсекается одной из сторон повернутого треугольника. В результате образуется маленький треугольник. Так как все углы исходного треугольника равны $60^\circ$, и из-за симметрии поворота, отсекаемый треугольник также является правильным (равносторонним).

Пусть сторона искомого правильного шестиугольника равна $s$.

Рассмотрим одну сторону исходного треугольника, например $AB$. На ней располагаются две вершины шестиугольника. Обозначим их $P_1$ и $P_2$.

Вершина $P_1$ (ближе к $A$) является также вершиной маленького правильного треугольника, отсеченного у угла $A$. Обозначим этот треугольник $AP_1Q$, где $Q$ — вершина на стороне $AC$. Основание этого треугольника $P_1Q$ является одной из сторон центрального шестиугольника. Так как треугольник $AP_1Q$ равносторонний, то $AP_1 = P_1Q = s$.

Аналогично, вершина $P_2$ (ближе к $B$) является вершиной маленького правильного треугольника, отсеченного у угла $B$. Сторона этого треугольника также равна стороне шестиугольника $s$. Следовательно, отрезок $BP_2$ равен $s$.

Отрезок $P_1P_2$ — это сегмент стороны $AB$, соединяющий две вершины шестиугольника. Этот отрезок также является стороной шестиугольника. Это следует из того, что шестиугольник правильный, и все его стороны должны быть равны. Одна его сторона, $P_1Q$, равна $s$. Другая его сторона, $P_1P_2$, также должна быть равна $s$.

Таким образом, сторона $AB$ исходного треугольника разбивается на три отрезка: $AP_1$, $P_1P_2$ и $P_2B$.

Длина стороны $AB$ равна сумме длин этих трех отрезков:$AB = AP_1 + P_1P_2 + P_2B$

Подставляя известные значения, получаем:$a = s + s + s = 3s$

По условию задачи, сторона исходного треугольника $a = 1$.$1 = 3s$

Отсюда находим сторону шестиугольника $s$:$s = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.