Номер 9, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Точка $A(1;0)$ повернута вокруг начала координат на угол:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $90^\circ$;

д) $120^\circ$;

е) $135^\circ$;

ж) $150^\circ$;

з) $180^\circ$ по часовой стрелке. Найдите координаты повернутой точки.

Для нахождения координат точки $A'(x'; y')$, полученной в результате поворота точки $A(x; y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ по часовой стрелке, используются следующие формулы:

$x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha$

$y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Подставим координаты исходной точки $A(1; 0)$, то есть $x=1$ и $y=0$:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = -1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = -\sin \alpha$

Следовательно, для любого угла поворота $\alpha$ по часовой стрелке, координаты повернутой точки будут $( \cos \alpha; -\sin \alpha )$. Теперь найдем координаты для каждого заданного угла.

а) Угол поворота $\alpha = 30^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 30^{\circ}; -\sin 30^{\circ})$.

$x' = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y' = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

б) Угол поворота $\alpha = 45^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 45^{\circ}; -\sin 45^{\circ})$.

$x' = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y' = -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Угол поворота $\alpha = 60^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 60^{\circ}; -\sin 60^{\circ})$.

$x' = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$

$y' = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

г) Угол поворота $\alpha = 90^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 90^{\circ}; -\sin 90^{\circ})$.

$x' = \cos 90^{\circ} = 0$

$y' = -\sin 90^{\circ} = -1$

Ответ: $(0; -1)$.

д) Угол поворота $\alpha = 120^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 120^{\circ}; -\sin 120^{\circ})$.

$x' = \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$

$y' = -\sin 120^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

е) Угол поворота $\alpha = 135^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 135^{\circ}; -\sin 135^{\circ})$.

$x' = \cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y' = -\sin 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

ж) Угол поворота $\alpha = 150^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 150^{\circ}; -\sin 150^{\circ})$.

$x' = \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y' = -\sin 150^{\circ} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

з) Угол поворота $\alpha = 180^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 180^{\circ}; -\sin 180^{\circ})$.

$x' = \cos 180^{\circ} = -1$

$y' = -\sin 180^{\circ} = 0$

Ответ: $(-1; 0)$.