Номер 12, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если $n$-угольник имеет центр симметрии $n$-го порядка, то он является правильным.

Пусть данный $n$-угольник обозначается как $A_1A_2...A_n$, где $A_1, A_2, ..., A_n$ — его последовательные вершины. Условие о том, что многоугольник имеет центр симметрии $n$-го порядка, означает, что существует точка $O$ (центр симметрии) такая, что поворот вокруг точки $O$ на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (или $\frac{2\pi}{n}$ радиан) переводит многоугольник в себя. Обозначим это преобразование поворота как $R$.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Нам необходимо доказать, что наш $n$-угольник является равносторонним и равноугольным.

Поскольку поворот $R$ переводит многоугольник в себя, он должен переводить множество вершин $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$ в себя. Так как поворот сохраняет взаимное расположение точек (в частности, циклический порядок), он должен переводить вершины в соседние. Мы можем пронумеровать вершины таким образом, что поворот $R$ переводит вершину $A_i$ в вершину $A_{i+1}$ для $i = 1, 2, ..., n-1$, а вершину $A_n$ — в вершину $A_1$.

Докажем сначала, что все стороны многоугольника равны. Рассмотрим сторону $A_1A_2$. При повороте $R$ точка $A_1$ переходит в $A_2$, а точка $A_2$ — в $A_3$. Следовательно, сторона (отрезок) $A_1A_2$ переходит в сторону $A_2A_3$. Поворот является движением (изометрией), а значит, сохраняет расстояния. Поэтому длина отрезка $A_1A_2$ равна длине его образа, отрезка $A_2A_3$. То есть, $|A_1A_2| = |A_2A_3|$. Применив поворот $R$ к стороне $A_2A_3$, мы аналогично получим, что $|A_2A_3| = |A_3A_4|$, и так далее. Продолжая этот процесс, мы получим цепочку равенств: $|A_1A_2| = |A_2A_3| = ... = |A_{n-1}A_n| = |A_nA_1|$. Это означает, что многоугольник является равносторонним.

Теперь докажем, что все внутренние углы многоугольника равны. Рассмотрим угол при вершине $A_2$, то есть $\angle A_1A_2A_3$. Этот угол образован сторонами $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Как мы уже установили, при повороте $R$ сторона $A_1A_2$ переходит в $A_2A_3$, а сторона $A_2A_3$ — в $A_3A_4$. Значит, угол $\angle A_1A_2A_3$ переходит в угол $\angle A_2A_3A_4$. Поскольку поворот сохраняет величину углов, мы получаем равенство: $\angle A_1A_2A_3 = \angle A_2A_3A_4$. Повторяя это рассуждение для всех углов, мы приходим к выводу, что все внутренние углы многоугольника равны: $\angle A_nA_1A_2 = \angle A_1A_2A_3 = ... = \angle A_{n-1}A_nA_1$. Это означает, что многоугольник является равноугольным.

Так как $n$-угольник является одновременно равносторонним и равноугольным, он по определению является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Наличие центра симметрии $n$-го порядка означает, что поворот на угол $\frac{360^\circ}{n}$ вокруг этого центра является симметрией данного $n$-угольника. Это преобразование переводит каждую сторону в соседнюю и каждый угол в соседний. Поскольку поворот является движением и сохраняет длины и углы, из этого следует, что все стороны многоугольника равны между собой, и все его углы также равны между собой. По определению, такой многоугольник является правильным.