Номер 7, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Треугольник $DEF$ получен поворотом треугольника $ABC$ (рис. 11.10). Укажите центр поворота.

a)

б)

Рис. 11.10

а) Чтобы найти центр поворота, который преобразует треугольник $ABC$ в треугольник $DEF$, мы можем использовать метод серединных перпендикуляров. Центр поворота равноудален от любой соответствующей пары точек (например, от $A$ и $D$, от $B$ и $E$, и т.д.) и, следовательно, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки.Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Тогда вершины треугольников имеют следующие координаты: $A(0, 1)$, $B(2, 1)$, $C(1, 3)$ и $D(5, 1)$, $E(5, 3)$, $F(3, 2)$. По условию, треугольник $DEF$ получен поворотом треугольника $ABC$, значит, вершина $A$ переходит в $D$, $B$ в $E$, а $C$ в $F$.Найдем серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Координаты серединной точки отрезка $AD$: $M_{AD} = (\frac{0+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2.5, 1)$. Так как отрезок $AD$ горизонтален, его серединный перпендикуляр будет вертикальной линией, проходящей через точку $M_{AD}$. Уравнение этой линии: $x = 2.5$.Теперь найдем серединный перпендикуляр к отрезку $CF$. Координаты серединной точки отрезка $CF$: $M_{CF} = (\frac{1+3}{2}, \frac{3+2}{2}) = (2, 2.5)$. Угловой коэффициент прямой $CF$ равен $k_{CF} = \frac{2-3}{3-1} = -\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CF}} = 2$. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{CF}$: $y - 2.5 = 2(x - 2)$, что упрощается до $y = 2x - 1.5$.Чтобы найти центр поворота, решим систему из двух уравнений:$x = 2.5$$y = 2x - 1.5$Подставляя $x$ во второе уравнение, получаем: $y = 2(2.5) - 1.5 = 5 - 1.5 = 3.5$.Таким образом, центр поворота находится в точке с координатами $(2.5, 3.5)$.
Ответ: Центр поворота — точка с координатами $(2.5, 3.5)$, если принять левый нижний узел сетки за начало координат.

б) Введем систему координат с началом в левом нижнем углу сетки. Координаты вершин: $A(0, 4)$, $B(3, 5)$, $C(4, 3)$ и $D(2, 4)$, $E(1, 1)$, $F(4, 2)$.Поворот является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Найдем длины сторон треугольников, чтобы проверить, являются ли они конгруэнтными.Для $\triangle ABC$:$|AB|^2 = (3-0)^2 + (5-4)^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \implies |AB| = \sqrt{10}$$|BC|^2 = (4-3)^2 + (3-5)^2 = 1^2 + (-2)^2 = 5 \implies |BC| = \sqrt{5}$$|AC|^2 = (4-0)^2 + (3-4)^2 = 4^2 + (-1)^2 = 17 \implies |AC| = \sqrt{17}$Для $\triangle DEF$:$|DE|^2 = (1-2)^2 + (1-4)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 10 \implies |DE| = \sqrt{10}$$|EF|^2 = (4-1)^2 + (2-1)^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \implies |EF| = \sqrt{10}$$|DF|^2 = (4-2)^2 + (2-4)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \implies |DF| = \sqrt{8}$Наборы длин сторон ($\sqrt{10}, \sqrt{5}, \sqrt{17}$ и $\sqrt{10}, \sqrt{10}, \sqrt{8}$) не совпадают, следовательно, треугольники $ABC$ и $DEF$ не конгруэнтны. Это означает, что в условии задачи или в рисунке содержится ошибка, так как один треугольник нельзя получить из другого поворотом.Предположим, что в рисунке допущена опечатка и вершина $C$ треугольника $ABC$ на самом деле находится в точке $C'(2, 2)$, а не $(4, 3)$. Проверим, будет ли в этом случае треугольник $ABC'$ конгруэнтен треугольнику $DEF$.Стороны $\triangle ABC'$:$|AB| = \sqrt{10}$ (не изменилась)$|BC'|^2 = (3-2)^2 + (5-2)^2 = 1^2 + 3^2 = 10 \implies |BC'| = \sqrt{10}$$|AC'|^2 = (2-0)^2 + (2-4)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \implies |AC'| = \sqrt{8}$Теперь $\triangle ABC'$ со сторонами $\sqrt{10}, \sqrt{10}, \sqrt{8}$ конгруэнтен $\triangle DEF$.Установим соответствие вершин. Сторона $|AC'|=\sqrt{8}$ соответствует стороне $|DF|=\sqrt{8}$. Стороны $|AB|=\sqrt{10}$ и $|BC'|=\sqrt{10}$ соответствуют сторонам $|DE|=\sqrt{10}$ и $|EF|=\sqrt{10}$.Отсюда следует соответствие вершин: $A(0, 4) \rightarrow F(4, 2)$, $B(3, 5) \rightarrow E(1, 1)$, $C'(2, 2) \rightarrow D(2, 4)$.Найдем центр поворота как точку пересечения серединных перпендикуляров.Для отрезка $AF$: середина $(\frac{0+4}{2}, \frac{4+2}{2}) = (2, 3)$. Угловой коэффициент $k_{AF}=\frac{2-4}{4-0}=-\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $k_{\perp}=2$.Для отрезка $BE$: середина $(\frac{3+1}{2}, \frac{5+1}{2}) = (2, 3)$.Поскольку серединные точки отрезков $AF$ и $BE$ совпадают, эта точка и есть центр поворота. Проверим ее для пары $C'D$.Для отрезка $C'D$: середина $(\frac{2+2}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$.Все три серединных перпендикуляра пересекаются в точке $(2, 3)$.
Ответ: В условии задачи содержится ошибка. Если предположить, что вершина $C$ находится в точке $(2, 2)$, то центром поворота будет точка с координатами $(2, 3)$.