Номер 8, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Точка A(1; 0) повернута вокруг начала координат на угол:
а) 30°;
б) 45°;
в) 60°;
г) 90°;
д) 120°;
е) 135°;
ж) 150°;
з) 180° против часовой стрелки. Найдите координаты повернутой точки.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом точки $A(x; y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, используются формулы преобразования координат: $x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$ и $y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$.

В данном случае исходная точка $A(1; 0)$, поэтому $x = 1$ и $y = 0$. Подставив эти значения в формулы, получаем упрощенный вид:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, для каждого заданного угла $\alpha$ координаты повернутой точки $A'$ будут $( \cos \alpha; \sin \alpha )$. Найдем эти координаты для каждого случая.

а) Угол поворота $\alpha = 30^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 30^\circ; \sin 30^\circ)$.
$x' = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y' = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$

б) Угол поворота $\alpha = 45^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 45^\circ; \sin 45^\circ)$.
$x' = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y' = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

в) Угол поворота $\alpha = 60^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 60^\circ; \sin 60^\circ)$.
$x' = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$y' = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

г) Угол поворота $\alpha = 90^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 90^\circ; \sin 90^\circ)$.
$x' = \cos 90^\circ = 0$
$y' = \sin 90^\circ = 1$
Ответ: $(0; 1)$

д) Угол поворота $\alpha = 120^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 120^\circ; \sin 120^\circ)$.
$x' = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$y' = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

е) Угол поворота $\alpha = 135^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 135^\circ; \sin 135^\circ)$.
$x' = \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y' = \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

ж) Угол поворота $\alpha = 150^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 150^\circ; \sin 150^\circ)$.
$x' = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y' = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$

з) Угол поворота $\alpha = 180^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 180^\circ; \sin 180^\circ)$.
$x' = \cos 180^\circ = -1$
$y' = \sin 180^\circ = 0$
Ответ: $(-1; 0)$