Страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Точка A(1; 0) повернута вокруг начала координат на угол:
а) 30°;
б) 45°;
в) 60°;
г) 90°;
д) 120°;
е) 135°;
ж) 150°;
з) 180° против часовой стрелки. Найдите координаты повернутой точки.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом точки $A(x; y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, используются формулы преобразования координат: $x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$ и $y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$.

В данном случае исходная точка $A(1; 0)$, поэтому $x = 1$ и $y = 0$. Подставив эти значения в формулы, получаем упрощенный вид:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, для каждого заданного угла $\alpha$ координаты повернутой точки $A'$ будут $( \cos \alpha; \sin \alpha )$. Найдем эти координаты для каждого случая.

а) Угол поворота $\alpha = 30^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 30^\circ; \sin 30^\circ)$.
$x' = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y' = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$

б) Угол поворота $\alpha = 45^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 45^\circ; \sin 45^\circ)$.
$x' = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y' = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

в) Угол поворота $\alpha = 60^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 60^\circ; \sin 60^\circ)$.
$x' = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$y' = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

г) Угол поворота $\alpha = 90^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 90^\circ; \sin 90^\circ)$.
$x' = \cos 90^\circ = 0$
$y' = \sin 90^\circ = 1$
Ответ: $(0; 1)$

д) Угол поворота $\alpha = 120^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 120^\circ; \sin 120^\circ)$.
$x' = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$y' = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

е) Угол поворота $\alpha = 135^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 135^\circ; \sin 135^\circ)$.
$x' = \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y' = \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

ж) Угол поворота $\alpha = 150^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 150^\circ; \sin 150^\circ)$.
$x' = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y' = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$

з) Угол поворота $\alpha = 180^\circ$.
Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 180^\circ; \sin 180^\circ)$.
$x' = \cos 180^\circ = -1$
$y' = \sin 180^\circ = 0$
Ответ: $(-1; 0)$

9. Точка $A(1;0)$ повернута вокруг начала координат на угол:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $90^\circ$;

д) $120^\circ$;

е) $135^\circ$;

ж) $150^\circ$;

з) $180^\circ$ по часовой стрелке. Найдите координаты повернутой точки.

Для нахождения координат точки $A'(x'; y')$, полученной в результате поворота точки $A(x; y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ по часовой стрелке, используются следующие формулы:

$x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha$

$y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Подставим координаты исходной точки $A(1; 0)$, то есть $x=1$ и $y=0$:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = -1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = -\sin \alpha$

Следовательно, для любого угла поворота $\alpha$ по часовой стрелке, координаты повернутой точки будут $( \cos \alpha; -\sin \alpha )$. Теперь найдем координаты для каждого заданного угла.

а) Угол поворота $\alpha = 30^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 30^{\circ}; -\sin 30^{\circ})$.

$x' = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y' = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

б) Угол поворота $\alpha = 45^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 45^{\circ}; -\sin 45^{\circ})$.

$x' = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y' = -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Угол поворота $\alpha = 60^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 60^{\circ}; -\sin 60^{\circ})$.

$x' = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$

$y' = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

г) Угол поворота $\alpha = 90^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 90^{\circ}; -\sin 90^{\circ})$.

$x' = \cos 90^{\circ} = 0$

$y' = -\sin 90^{\circ} = -1$

Ответ: $(0; -1)$.

д) Угол поворота $\alpha = 120^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 120^{\circ}; -\sin 120^{\circ})$.

$x' = \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$

$y' = -\sin 120^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

е) Угол поворота $\alpha = 135^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 135^{\circ}; -\sin 135^{\circ})$.

$x' = \cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y' = -\sin 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

ж) Угол поворота $\alpha = 150^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 150^{\circ}; -\sin 150^{\circ})$.

$x' = \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y' = -\sin 150^{\circ} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

з) Угол поворота $\alpha = 180^{\circ}$.

Новые координаты $(x'; y')$ равны $(\cos 180^{\circ}; -\sin 180^{\circ})$.

$x' = \cos 180^{\circ} = -1$

$y' = -\sin 180^{\circ} = 0$

Ответ: $(-1; 0)$.

10. Правильный треугольник повернули на $60^\circ$ вокруг центра описанной окружности. Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного треугольников? Найдите его сторону, если сторона исходного треугольника равна 1.

Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного треугольников?

Пусть исходный правильный треугольник $T_1$ с центром $O$. Мы поворачиваем его на $60^\circ$ вокруг точки $O$ и получаем новый треугольник $T_2$.

Правильный треугольник обладает вращательной симметрией 3-го порядка (углы поворота, совмещающие треугольник с собой, равны $120^\circ$ и $240^\circ$). Поворот на $60^\circ$ не совмещает треугольник с самим собой, но создает фигуру (объединение $T_1$ и $T_2$), которая имеет вид шестиконечной звезды (гексаграммы или Звезды Давида). Эта фигура обладает вращательной симметрией 6-го порядка (угол поворота $60^\circ$).

Общей частью (пересечением) треугольников $T_1$ и $T_2$ является многоугольник, расположенный в центре этой симметричной фигуры. В силу симметрии всей конструкции, этот многоугольник должен быть правильным.

Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения сторон треугольника $T_1$ со сторонами треугольника $T_2$. Каждая сторона одного треугольника пересекает две стороны другого, в результате чего образуется 6 точек пересечения. Следовательно, искомый многоугольник является шестиугольником.

Так как этот шестиугольник обладает вращательной симметрией 6-го порядка, все его стороны и углы равны. Таким образом, он является правильным шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник.

Найдите его сторону, если сторона исходного треугольника равна 1.

Пусть сторона исходного правильного треугольника $ABC$ равна $a=1$. Общая часть представляет собой правильный шестиугольник, который образуется в центре, а по углам исходного треугольника "отсекаются" три маленьких правильных треугольника.

Рассмотрим один из углов исходного треугольника, например, при вершине $A$. Этот угол отсекается одной из сторон повернутого треугольника. В результате образуется маленький треугольник. Так как все углы исходного треугольника равны $60^\circ$, и из-за симметрии поворота, отсекаемый треугольник также является правильным (равносторонним).

Пусть сторона искомого правильного шестиугольника равна $s$.

Рассмотрим одну сторону исходного треугольника, например $AB$. На ней располагаются две вершины шестиугольника. Обозначим их $P_1$ и $P_2$.

Вершина $P_1$ (ближе к $A$) является также вершиной маленького правильного треугольника, отсеченного у угла $A$. Обозначим этот треугольник $AP_1Q$, где $Q$ — вершина на стороне $AC$. Основание этого треугольника $P_1Q$ является одной из сторон центрального шестиугольника. Так как треугольник $AP_1Q$ равносторонний, то $AP_1 = P_1Q = s$.

Аналогично, вершина $P_2$ (ближе к $B$) является вершиной маленького правильного треугольника, отсеченного у угла $B$. Сторона этого треугольника также равна стороне шестиугольника $s$. Следовательно, отрезок $BP_2$ равен $s$.

Отрезок $P_1P_2$ — это сегмент стороны $AB$, соединяющий две вершины шестиугольника. Этот отрезок также является стороной шестиугольника. Это следует из того, что шестиугольник правильный, и все его стороны должны быть равны. Одна его сторона, $P_1Q$, равна $s$. Другая его сторона, $P_1P_2$, также должна быть равна $s$.

Таким образом, сторона $AB$ исходного треугольника разбивается на три отрезка: $AP_1$, $P_1P_2$ и $P_2B$.

Длина стороны $AB$ равна сумме длин этих трех отрезков:$AB = AP_1 + P_1P_2 + P_2B$

Подставляя известные значения, получаем:$a = s + s + s = 3s$

По условию задачи, сторона исходного треугольника $a = 1$.$1 = 3s$

Отсюда находим сторону шестиугольника $s$:$s = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

11. Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей на угол $45^\circ$. Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного квадратов? Найдите его сторону, если сторона исходного квадрата равна 1.

Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного квадратов?

Пусть исходный квадрат расположен в центре координатной плоскости, а его стороны параллельны осям координат. Центр квадрата, который является точкой пересечения его диагоналей, совпадает с началом координат $O(0,0)$. Поворот на 45° вокруг центра переводит вершины исходного квадрата в точки, лежащие на осях координат, а диагонали повернутого квадрата совмещаются с осями координат.

Стороны исходного квадрата отсекают четыре угла у повернутого квадрата. В то же время стороны повернутого квадрата отсекают четыре угла у исходного квадрата. Общая часть (пересечение) двух квадратов представляет собой многоугольник, ограниченный отрезками сторон обоих квадратов.

Поскольку исходный квадрат имеет 4 оси симметрии (две проходят через середины противоположных сторон и две — по диагоналям), а поворот осуществляется на угол 45°, который равен половине угла между осями симметрии (90°), то итоговая фигура будет обладать высокой симметрией. Вершины полученного многоугольника — это точки пересечения сторон исходного квадрата со сторонами повернутого. Всего таких точек пересечения будет 8. Из-за симметрии все стороны этого многоугольника будут равны между собой, и все его внутренние углы также будут равны. Многоугольник с восемью равными сторонами и равными углами является правильным восьмиугольником.

Ответ: Правильный восьмиугольник.

Найдите его сторону, если сторона исходного квадрата равна 1.

Рассмотрим одну из сторон исходного квадрата. Её длина равна 1. Эта сторона целиком не входит в итоговый восьмиугольник. Её концы отсекаются сторонами повернутого квадрата. Оставшийся центральный отрезок является одной из сторон нашего правильного восьмиугольника.

Пусть сторона искомого восьмиугольника равна $s$. Углы исходного квадрата срезаются сторонами повернутого квадрата, образуя маленькие равнобедренные прямоугольные треугольники в каждом углу. Сторона восьмиугольника $s$ является гипотенузой одного из таких треугольников.

Обозначим катет такого срезанного треугольника через $x$. Тогда по теореме Пифагора: $s^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ Отсюда следует, что $s = x\sqrt{2}$, или, что то же самое, $x = \frac{s}{\sqrt{2}}$.

Теперь рассмотрим всю длину стороны исходного квадрата. Она складывается из центрального отрезка, который является стороной восьмиугольника (длиной $s$), и двух отрезков по краям, которые являются катетами срезанных треугольников (каждый длиной $x$).

Таким образом, мы можем записать уравнение: $x + s + x = 1$ $2x + s = 1$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $x$: $2\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) + s = 1$ $\sqrt{2}s + s = 1$

Вынесем $s$ за скобки: $s(\sqrt{2} + 1) = 1$

Отсюда находим $s$: $s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$: $s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: Сторона многоугольника равна $\sqrt{2} - 1$.

12. Докажите, что если $n$-угольник имеет центр симметрии $n$-го порядка, то он является правильным.

Пусть данный $n$-угольник обозначается как $A_1A_2...A_n$, где $A_1, A_2, ..., A_n$ — его последовательные вершины. Условие о том, что многоугольник имеет центр симметрии $n$-го порядка, означает, что существует точка $O$ (центр симметрии) такая, что поворот вокруг точки $O$ на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (или $\frac{2\pi}{n}$ радиан) переводит многоугольник в себя. Обозначим это преобразование поворота как $R$.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Нам необходимо доказать, что наш $n$-угольник является равносторонним и равноугольным.

Поскольку поворот $R$ переводит многоугольник в себя, он должен переводить множество вершин $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$ в себя. Так как поворот сохраняет взаимное расположение точек (в частности, циклический порядок), он должен переводить вершины в соседние. Мы можем пронумеровать вершины таким образом, что поворот $R$ переводит вершину $A_i$ в вершину $A_{i+1}$ для $i = 1, 2, ..., n-1$, а вершину $A_n$ — в вершину $A_1$.

Докажем сначала, что все стороны многоугольника равны. Рассмотрим сторону $A_1A_2$. При повороте $R$ точка $A_1$ переходит в $A_2$, а точка $A_2$ — в $A_3$. Следовательно, сторона (отрезок) $A_1A_2$ переходит в сторону $A_2A_3$. Поворот является движением (изометрией), а значит, сохраняет расстояния. Поэтому длина отрезка $A_1A_2$ равна длине его образа, отрезка $A_2A_3$. То есть, $|A_1A_2| = |A_2A_3|$. Применив поворот $R$ к стороне $A_2A_3$, мы аналогично получим, что $|A_2A_3| = |A_3A_4|$, и так далее. Продолжая этот процесс, мы получим цепочку равенств: $|A_1A_2| = |A_2A_3| = ... = |A_{n-1}A_n| = |A_nA_1|$. Это означает, что многоугольник является равносторонним.

Теперь докажем, что все внутренние углы многоугольника равны. Рассмотрим угол при вершине $A_2$, то есть $\angle A_1A_2A_3$. Этот угол образован сторонами $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Как мы уже установили, при повороте $R$ сторона $A_1A_2$ переходит в $A_2A_3$, а сторона $A_2A_3$ — в $A_3A_4$. Значит, угол $\angle A_1A_2A_3$ переходит в угол $\angle A_2A_3A_4$. Поскольку поворот сохраняет величину углов, мы получаем равенство: $\angle A_1A_2A_3 = \angle A_2A_3A_4$. Повторяя это рассуждение для всех углов, мы приходим к выводу, что все внутренние углы многоугольника равны: $\angle A_nA_1A_2 = \angle A_1A_2A_3 = ... = \angle A_{n-1}A_nA_1$. Это означает, что многоугольник является равноугольным.

Так как $n$-угольник является одновременно равносторонним и равноугольным, он по определению является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Наличие центра симметрии $n$-го порядка означает, что поворот на угол $\frac{360^\circ}{n}$ вокруг этого центра является симметрией данного $n$-угольника. Это преобразование переводит каждую сторону в соседнюю и каждый угол в соседний. Поскольку поворот является движением и сохраняет длины и углы, из этого следует, что все стороны многоугольника равны между собой, и все его углы также равны между собой. По определению, такой многоугольник является правильным.