Страница 60 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии этой фигуры.

Пусть дана фигура $F$, которая имеет две перпендикулярные оси симметрии $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $O$ является точкой их пересечения, то есть $O = l_1 \cap l_2$ и $l_1 \perp l_2$.

Нам необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. По определению, это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M''$, симметричная точке $M$ относительно центра $O$, также принадлежит фигуре $F$.

Возьмем произвольную точку $M \in F$.

Поскольку $l_1$ — ось симметрии фигуры $F$, то точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно прямой $l_1$, также принадлежит фигуре $F$. Обозначим это преобразование симметрии как $S_1$. Таким образом, $M' = S_1(M)$ и $M' \in F$.

Далее, поскольку $l_2$ — также ось симметрии фигуры $F$, и точка $M'$ принадлежит $F$, то точка $M''$, симметричная точке $M'$ относительно прямой $l_2$, тоже принадлежит фигуре $F$. Обозначим это преобразование как $S_2$. Таким образом, $M'' = S_2(M')$ и $M'' \in F$.

Итак, мы установили, что для любой точки $M \in F$, точка $M'' = S_2(S_1(M))$ также принадлежит $F$. Теперь докажем, что преобразование, переводящее точку $M$ в точку $M''$ (то есть композиция двух осевых симметрий $S_2 \circ S_1$), является центральной симметрией относительно точки $O$.

Для доказательства этого факта введем прямоугольную систему координат. Пусть точка пересечения осей $O$ будет началом координат $(0, 0)$. Так как оси $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны, мы можем совместить их с осями координат. Пусть ось $l_1$ совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$), а ось $l_2$ — с осью ординат (осью $Oy$).

Пусть произвольная точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

1. Симметрия $S_1$ относительно оси $l_1$ (оси $Ox$) переводит точку $M(x, y)$ в точку $M'(x, -y)$.

2. Симметрия $S_2$ относительно оси $l_2$ (оси $Oy$) переводит точку $M'(x, -y)$ в точку $M''(-x, -y)$.

Таким образом, последовательное применение двух симметрий переводит точку $M(x, y)$ в точку $M''(-x, -y)$.

В то же время, центральная симметрия относительно начала координат $O(0, 0)$ по определению переводит любую точку $(x, y)$ в точку $(-x, -y)$.

Следовательно, точка $M''$ является точкой, симметричной точке $M$ относительно центра $O$.

Мы показали, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M''$, симметричная ей относительно точки $O$, также принадлежит фигуре $F$. Это и означает, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Композиция двух симметрий относительно перпендикулярных осей является центральной симметрией относительно точки пересечения этих осей. Поэтому, если фигура симметрична относительно двух перпендикулярных осей, она также симметрична относительно их точки пересечения.

25. Докажите, что многоугольник с нечетным числом сторон не может иметь центр симметрии.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует многоугольник с нечетным числом сторон $n$, который имеет центр симметрии $O$. Число вершин многоугольника также равно $n$ и, следовательно, является нечетным.

По определению центральной симметрии, для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра $O$ также должна принадлежать этой фигуре. В частности, для каждой вершины $A_i$ многоугольника, точка $A_i'$, симметричная $A_i$ относительно центра $O$, также должна быть одной из вершин этого многоугольника.

Таким образом, центральная симметрия разбивает множество вершин $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ на пары симметричных вершин $(A_i, A_j)$, где $A_j$ является образом $A_i$, либо оставляет вершины неподвижными. Неподвижной точкой при центральной симметрии может быть только сам центр симметрии. То есть, если вершина $A_k$ неподвижна, то она совпадает с центром $O$.

Все вершины, которые не совпадают с центром симметрии $O$, разбиваются на пары. Это означает, что их общее количество должно быть четным. Однако по условию общее число вершин $n$ нечетно. Это возможно только в том случае, если одна из вершин не имеет пары, то есть является неподвижной точкой симметрии.

Следовательно, одна из вершин многоугольника, назовем ее $A_k$, должна совпадать с центром симметрии $O$.

Теперь покажем, что это приводит к противоречию. Пусть вершина $A_k$ является центром симметрии. Рассмотрим две стороны, которые сходятся в этой вершине: $A_{k-1}A_k$ и $A_k A_{k+1}$ (индексы рассматриваются по модулю $n$).

Поскольку многоугольник симметричен относительно точки $A_k$, образ стороны $A_k A_{k+1}$ при этой симметрии также должен быть стороной многоугольника. Образом точки $A_k$ является она сама. Образом точки $A_{k+1}$ является точка $A_{k+1}'$ такая, что $A_k$ — середина отрезка $A_{k+1}A_{k+1}'$. Значит, образом стороны $A_k A_{k+1}$ является отрезок $A_k A_{k+1}'$.

Этот отрезок $A_k A_{k+1}'$ должен быть стороной многоугольника, выходящей из вершины $A_k$. Но из вершины $A_k$ выходят только две стороны: $A_{k-1}A_k$ и $A_k A_{k+1}$. Следовательно, отрезок $A_k A_{k+1}'$ должен совпадать со стороной $A_{k-1}A_k$.

Это означает, что точки $A_{k-1}$, $A_k$ и $A_{k+1}$ лежат на одной прямой. Но по определению многоугольника, две его смежные стороны не могут лежать на одной прямой (иначе $A_k$ не была бы вершиной).

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Многоугольник с нечетным числом сторон не может иметь центр симметрии.

26. Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно два центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует некоторая фигура F, у которой есть ровно два различных центра симметрии — $O_1$ и $O_2$.

По определению, точка O является центром симметрии фигуры F, если для любой точки A из F симметричная ей точка A' относительно O также принадлежит F. Преобразование центральной симметрии с центром в точке O будем обозначать $S_O$. Таким образом, по нашему предположению, для фигуры F выполняются равенства: $S_{O_1}(F) = F$ и $S_{O_2}(F) = F$.

Рассмотрим композицию этих двух преобразований: $T = S_{O_2} \circ S_{O_1}$. Поскольку каждое из преобразований $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$ отображает фигуру F на себя, их композиция $T$ также должна сохранять фигуру F неизменной: $T(F) = S_{O_2}(S_{O_1}(F)) = S_{O_2}(F) = F$.

Композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом. Вектор этого переноса $\vec{v}$ равен удвоенному вектору, проведенному из центра первой симметрии в центр второй: $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Так как по предположению центры $O_1$ и $O_2$ различны ($O_1 \neq O_2$), вектор $\vec{v}$ является ненулевым. Таким образом, фигура F инвариантна относительно параллельного переноса на ненулевой вектор $\vec{v}$.

Рассмотрим точку $O_3$, полученную в результате переноса центра симметрии $O_1$ на вектор $\vec{v}$, то есть $O_3 = T(O_1) = O_1 + \vec{v}$. Докажем, что $O_3$ также является центром симметрии фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки $O_3$ можно выразить через известные нам преобразования: $S_{O_3} = T \circ S_{O_1} \circ T^{-1}$. Поскольку преобразования $T$, $S_{O_1}$ и $T^{-1}$ (обратный перенос) сохраняют фигуру F, то и их композиция $S_{O_3}$ также сохраняет фигуру F. Это означает, что $O_3$ — центр симметрии фигуры F.

Теперь необходимо убедиться, что $O_3$ является новым центром симметрии, отличным от $O_1$ и $O_2$.
1. Точка $O_3$ не совпадает с $O_1$, так как $O_3 = O_1 + \vec{v}$ и $\vec{v}$ — ненулевой вектор.
2. Точка $O_3$ не совпадает с $O_2$. Если предположить, что $O_3 = O_2$, то $O_1 + 2\vec{O_1O_2} = O_2$. Это равенство эквивалентно $\vec{O_1O_2} = -2\vec{O_1O_2}$, что возможно только при $\vec{O_1O_2} = \vec{0}$, то есть $O_1=O_2$. Это противоречит исходному условию, что центры различны.

Таким образом, мы нашли третий центр симметрии $O_3$, отличный от $O_1$ и $O_2$. Это приводит к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что у фигуры F было ровно два центра симметрии. Следовательно, предположение неверно.

Ответ: Утверждение доказано. Никакая фигура не может иметь ровно два центра симметрии. Если у фигуры есть два различных центра симметрии, то она будет иметь и бесконечное множество центров симметрии.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

27. Нарисуйте какую-нибудь точку O и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы $OA = OA'$, $OB = OB'$ и углы $AOA'$, $BOB'$ равнялись данному углу $\varphi$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Согласно условию задачи, нарисуем произвольную точку $O$ и отрезок $AB$. Далее, построим точки $A'$ и $B'$ так, как описано в задаче.

Построение точки $A'$: Точка $A'$ получается в результате поворота точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $\phi$. Это означает, что $A'$ лежит на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$, и угол между лучами $OA$ и $OA'$ равен $\phi$. Таким образом, по условию $OA = OA'$ и $\angle AOA' = \phi$.

Построение точки $B'$: Аналогично, точка $B'$ является результатом поворота точки $B$ вокруг того же центра $O$ на тот же угол $\phi$. Следовательно, $OB = OB'$ и $\angle BOB' = \phi$.

Соединив точки $A'$ и $B'$, мы получаем новый отрезок $A'B'$.

Анализ и доказательство:Отрезок $A'B'$ является образом отрезка $AB$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $\phi$. Поворот является изометрическим преобразованием (движением), что означает, что он сохраняет расстояния между точками. Отсюда следует, что длина отрезка $A'B'$ должна быть равна длине отрезка $AB$.

Докажем это утверждение строго, сравнив треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

Рассмотрим эти два треугольника:
- Сторона $OA$ равна стороне $OA'$ (по условию $OA = OA'$).
- Сторона $OB$ равна стороне $OB'$ (по условию $OB = OB'$).
- Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A'OB'$. Докажем это. Поскольку поворот на угол $\phi$ переводит луч $OA$ в $OA'$ и луч $OB$ в $OB'$, угол между исходными лучами должен сохраниться. Более формально, рассмотрим угол $\angle AOB'$. Мы можем выразить его двумя способами, используя свойство сложения углов (предполагая, что поворот идет в одном направлении и лучи расположены так, что сложение применимо):
$\angle AOB' = \angle AOB + \angle BOB' = \angle AOB + \phi$
$\angle AOB' = \angle AOA' + \angle A'OB' = \phi + \angle A'OB'$
Приравнивая два выражения для $\angle AOB'$, получаем $\angle AOB + \phi = \phi + \angle A'OB'$, откуда следует $\angle AOB = \angle A'OB'$.

Итак, мы имеем два треугольника, $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников, $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $A'B'$ в $\triangle A'OB'$, следовательно, их длины равны.

Ответ: Отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$. То есть, $A'B' = AB$. Это происходит потому, что отрезок $A'B'$ является результатом поворота отрезка $AB$ вокруг точки $O$ на угол $\phi$, а поворот сохраняет длины.