Номер 24, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии этой фигуры.

Пусть дана фигура $F$, которая имеет две перпендикулярные оси симметрии $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $O$ является точкой их пересечения, то есть $O = l_1 \cap l_2$ и $l_1 \perp l_2$.

Нам необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. По определению, это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M''$, симметричная точке $M$ относительно центра $O$, также принадлежит фигуре $F$.

Возьмем произвольную точку $M \in F$.

Поскольку $l_1$ — ось симметрии фигуры $F$, то точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно прямой $l_1$, также принадлежит фигуре $F$. Обозначим это преобразование симметрии как $S_1$. Таким образом, $M' = S_1(M)$ и $M' \in F$.

Далее, поскольку $l_2$ — также ось симметрии фигуры $F$, и точка $M'$ принадлежит $F$, то точка $M''$, симметричная точке $M'$ относительно прямой $l_2$, тоже принадлежит фигуре $F$. Обозначим это преобразование как $S_2$. Таким образом, $M'' = S_2(M')$ и $M'' \in F$.

Итак, мы установили, что для любой точки $M \in F$, точка $M'' = S_2(S_1(M))$ также принадлежит $F$. Теперь докажем, что преобразование, переводящее точку $M$ в точку $M''$ (то есть композиция двух осевых симметрий $S_2 \circ S_1$), является центральной симметрией относительно точки $O$.

Для доказательства этого факта введем прямоугольную систему координат. Пусть точка пересечения осей $O$ будет началом координат $(0, 0)$. Так как оси $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны, мы можем совместить их с осями координат. Пусть ось $l_1$ совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$), а ось $l_2$ — с осью ординат (осью $Oy$).

Пусть произвольная точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

1. Симметрия $S_1$ относительно оси $l_1$ (оси $Ox$) переводит точку $M(x, y)$ в точку $M'(x, -y)$.

2. Симметрия $S_2$ относительно оси $l_2$ (оси $Oy$) переводит точку $M'(x, -y)$ в точку $M''(-x, -y)$.

Таким образом, последовательное применение двух симметрий переводит точку $M(x, y)$ в точку $M''(-x, -y)$.

В то же время, центральная симметрия относительно начала координат $O(0, 0)$ по определению переводит любую точку $(x, y)$ в точку $(-x, -y)$.

Следовательно, точка $M''$ является точкой, симметричной точке $M$ относительно центра $O$.

Мы показали, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M''$, симметричная ей относительно точки $O$, также принадлежит фигуре $F$. Это и означает, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Композиция двух симметрий относительно перпендикулярных осей является центральной симметрией относительно точки пересечения этих осей. Поэтому, если фигура симметрична относительно двух перпендикулярных осей, она также симметрична относительно их точки пересечения.