Номер 18, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что центральная симметрия переводит окружность в окружность.

Для доказательства утверждения, что центральная симметрия переводит окружность в окружность, можно использовать как геометрический, так и координатный метод. Рассмотрим подробное геометрическое доказательство.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Окружность является геометрическим местом точек, удаленных от центра $O$ на расстояние $R$. Пусть центральная симметрия задана относительно некоторого центра $C$.

По определению центральной симметрии, для любой точки $M$ ее образ $M'$ находится на прямой $MC$ так, что $MC = CM'$ и точка $C$ лежит между $M$ и $M'$. Иначе говоря, $C$ — середина отрезка $MM'$.

1. Нахождение образа центра окружности.
При центральной симметрии относительно точки $C$, центр исходной окружности $O$ перейдет в точку $O'$, такую что точка $C$ является серединой отрезка $OO'$.

2. Нахождение образа произвольной точки окружности.
Возьмем любую точку $M$ на окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от ее центра до этой точки равно радиусу, то есть $OM = R$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $C$. Это означает, что $C$ — середина отрезка $MM'$.

3. Доказательство того, что образ точки лежит на новой окружности.
Рассмотрим четырехугольник $OMO'M'$. Его диагонали $OO'$ и $MM'$ пересекаются в точке $C$. По построению, точка $C$ является серединой обеих диагоналей. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $OMO'M'$ — это параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство противолежащих сторон. Значит, сторона $O'M'$ равна противолежащей ей стороне $OM$. Так как $M$ — точка на исходной окружности, то $OM = R$. Отсюда следует, что $O'M' = R$.

Это означает, что любая точка $M'$, полученная в результате симметрии точки $M$ с исходной окружности, удалена от точки $O'$ на постоянное расстояние $R$. Таким образом, все образы точек исходной окружности лежат на новой окружности $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.

4. Доказательство того, что любая точка новой окружности является образом некоторой точки исходной.
Необходимо также показать, что для любой точки на окружности $\omega'$ существует прообраз на окружности $\omega$. Возьмем произвольную точку $P'$ на окружности $\omega'$ (то есть $O'P' = R$). Найдем ее прообраз $P$ при симметрии относительно центра $C$. Точка $P$ будет такой, что $C$ является серединой отрезка $PP'$. Рассматривая четырехугольник $OPO'P'$, мы аналогично доказываем, что это параллелограмм. Следовательно, $OP = O'P'$. Поскольку $O'P' = R$, то и $OP = R$. Это означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что центральная симметрия отображает окружность $\omega(O, R)$ на окружность $\omega'(O', R)$, где $O'$ — образ центра $O$ при данной симметрии.

Ответ: Доказано, что центральная симметрия является движением (сохраняет расстояния), поэтому она переводит окружность в окружность. Центр новой окружности является симметричным образом центра исходной окружности, а радиус новой окружности равен радиусу исходной.