Номер 19, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$ и точка $O$ — его центр симметрии. По определению центральной симметрии, для любой точки фигуры ее симметричный образ относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками, а значит, переводит вершины многоугольника в вершины.

Рассмотрим вершину $A$. При симметрии относительно точки $O$ она переходит в некоторую вершину четырехугольника. Этот образ не может быть самой вершиной $A$ (иначе $A$ совпало бы с $O$, что невозможно для невырожденного четырехугольника). Этот образ также не может быть смежной вершиной, например $B$. Если бы образом $A$ была вершина $B$, то $O$ была бы серединой стороны $AB$. Тогда образом $B$ была бы вершина $A$. Это означает, что вся фигура должна быть симметрична относительно середины одной из своих сторон, что нарушает общность для четырехугольника.

Следовательно, при центральной симметрии каждая вершина переходит в противолежащую ей вершину. Таким образом, образом вершины $A$ является вершина $C$, а образом вершины $B$ является вершина $D$.

Из того, что вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно точки $O$, следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Аналогично, из того, что вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$, следует, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Мы получили, что диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно одному из признаков параллелограмма, четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.