Номер 26, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно два центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует некоторая фигура F, у которой есть ровно два различных центра симметрии — $O_1$ и $O_2$.

По определению, точка O является центром симметрии фигуры F, если для любой точки A из F симметричная ей точка A' относительно O также принадлежит F. Преобразование центральной симметрии с центром в точке O будем обозначать $S_O$. Таким образом, по нашему предположению, для фигуры F выполняются равенства: $S_{O_1}(F) = F$ и $S_{O_2}(F) = F$.

Рассмотрим композицию этих двух преобразований: $T = S_{O_2} \circ S_{O_1}$. Поскольку каждое из преобразований $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$ отображает фигуру F на себя, их композиция $T$ также должна сохранять фигуру F неизменной: $T(F) = S_{O_2}(S_{O_1}(F)) = S_{O_2}(F) = F$.

Композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом. Вектор этого переноса $\vec{v}$ равен удвоенному вектору, проведенному из центра первой симметрии в центр второй: $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Так как по предположению центры $O_1$ и $O_2$ различны ($O_1 \neq O_2$), вектор $\vec{v}$ является ненулевым. Таким образом, фигура F инвариантна относительно параллельного переноса на ненулевой вектор $\vec{v}$.

Рассмотрим точку $O_3$, полученную в результате переноса центра симметрии $O_1$ на вектор $\vec{v}$, то есть $O_3 = T(O_1) = O_1 + \vec{v}$. Докажем, что $O_3$ также является центром симметрии фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки $O_3$ можно выразить через известные нам преобразования: $S_{O_3} = T \circ S_{O_1} \circ T^{-1}$. Поскольку преобразования $T$, $S_{O_1}$ и $T^{-1}$ (обратный перенос) сохраняют фигуру F, то и их композиция $S_{O_3}$ также сохраняет фигуру F. Это означает, что $O_3$ — центр симметрии фигуры F.

Теперь необходимо убедиться, что $O_3$ является новым центром симметрии, отличным от $O_1$ и $O_2$.
1. Точка $O_3$ не совпадает с $O_1$, так как $O_3 = O_1 + \vec{v}$ и $\vec{v}$ — ненулевой вектор.
2. Точка $O_3$ не совпадает с $O_2$. Если предположить, что $O_3 = O_2$, то $O_1 + 2\vec{O_1O_2} = O_2$. Это равенство эквивалентно $\vec{O_1O_2} = -2\vec{O_1O_2}$, что возможно только при $\vec{O_1O_2} = \vec{0}$, то есть $O_1=O_2$. Это противоречит исходному условию, что центры различны.

Таким образом, мы нашли третий центр симметрии $O_3$, отличный от $O_1$ и $O_2$. Это приводит к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что у фигуры F было ровно два центра симметрии. Следовательно, предположение неверно.

Ответ: Утверждение доказано. Никакая фигура не может иметь ровно два центра симметрии. Если у фигуры есть два различных центра симметрии, то она будет иметь и бесконечное множество центров симметрии.