Номер 22, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Прямая задана уравнением $ax + by + c = 0$. Напишите уравнение центрально-симметричной прямой относительно начала координат.

Пусть дана прямая $L_1$ с уравнением $ax + by + c = 0$. Мы ищем уравнение прямой $L_2$, которая является центрально-симметричной прямой $L_1$ относительно начала координат, то есть точки $O(0, 0)$.

Центральная симметрия относительно начала координат — это преобразование, при котором каждая точка плоскости $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$, координаты которой определяются по формулам: $x' = -x$ и $y' = -y$.

Чтобы найти уравнение искомой прямой $L_2$, возьмем на ней произвольную точку $M'(x', y')$. По определению симметрии, эта точка является образом некоторой точки $M(x, y)$, принадлежащей исходной прямой $L_1$. Следовательно, мы можем выразить координаты точки $M$ через координаты точки $M'$:

$x = -x'$

$y = -y'$

Так как точка $M(x, y)$ лежит на прямой $L_1$, ее координаты удовлетворяют уравнению $ax + by + c = 0$. Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через $x'$ и $y'$:

$a(-x') + b(-y') + c = 0$

После упрощения получаем:

$-ax' - by' + c = 0$

Это и есть уравнение, связывающее координаты $x'$ и $y'$ любой точки на симметричной прямой $L_2$. Для получения стандартной формы уравнения прямой заменим переменные $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$ соответственно:

$-ax - by + c = 0$

Это уравнение можно также умножить на $-1$, чтобы получить эквивалентную, более привычную форму:

$ax + by - c = 0$

Оба последних уравнения описывают одну и ту же прямую, симметричную исходной относительно начала координат. Геометрически это означает, что у симметричной прямой сохраняется тот же вектор нормали $(a, b)$, то есть она параллельна исходной прямой, но свободный член $c$ меняет свой знак. Если исходная прямая проходит через начало координат ($c=0$), то она симметрична самой себе.

Ответ: $ax + by - c = 0$ или $-ax - by + c = 0$.