Вопросы, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется поворотом вокруг точки?

2. Сохраняет ли поворот расстояния между точками?

3. Куда при повороте переходят отрезок, луч, прямая?

4. Сохраняет ли поворот величины углов?

5. Что называется центром симметрии n-го порядка фигуры?

1. Что называется поворотом вокруг точки?
Поворот вокруг точки (или поворот плоскости) — это геометрическое преобразование, которое задается центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. При таком преобразовании каждая точка $M$ на плоскости отображается в точку $M'$ таким образом, что выполняются два условия:
1. Расстояние от точки $M$ до центра $O$ равно расстоянию от ее образа $M'$ до центра $O$, то есть $OM = OM'$.
2. Угол между отрезками $OM$ и $OM'$, то есть $\angle MOM'$, равен углу поворота $\alpha$.
Сам центр поворота $O$ при этом преобразовании остается неподвижным. Угол поворота может быть положительным (обычно соответствует повороту против часовой стрелки) или отрицательным (по часовой стрелке).
Ответ: Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование, отображающее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что $OM' = OM$ и $\angle MOM' = \alpha$.

2. Сохраняет ли поворот расстояния между точками?
Да, поворот сохраняет расстояния между точками. Поворот является видом движения (или изометрии), а любое движение по определению сохраняет расстояния. Чтобы это доказать, рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ и их образы $A'$ и $B'$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $\alpha$. Сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. По определению поворота, $OA = OA'$ и $OB = OB'$. Так как вся плоскость поворачивается как единое целое, угол между лучами $OA$ и $OB$ сохраняется, то есть $\angle AOB = \angle A'OB'$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Это означает, что расстояние между точками $A$ и $B$ не изменилось.
Ответ: Да, поворот сохраняет расстояние между точками, так как является движением.

3. Куда при повороте переходят отрезок, луч, прямая?
Поскольку поворот является движением и сохраняет расстояния, он переводит геометрические фигуры в равные им (конгруэнтные) фигуры. Таким образом:
• Отрезок при повороте переходит в отрезок такой же длины.
• Луч переходит в луч.
• Прямая переходит в прямую.
Образ фигуры будет иметь то же положение относительно центра поворота, что и исходная фигура, но повернутое на заданный угол. Например, если центр поворота $O$ лежит на прямой $a$, то ее образ, прямая $a'$, тоже будет проходить через точку $O$, образуя с прямой $a$ угол, равный углу поворота.
Ответ: При повороте отрезок переходит в равный ему отрезок, луч — в луч, а прямая — в прямую.

4. Сохраняет ли поворот величины углов?
Да, поворот сохраняет величины углов. Это фундаментальное свойство всех движений. Доказательство можно построить на основе сохранения расстояний. Рассмотрим произвольный угол $\angle ABC$. При повороте точки $A$, $B$, $C$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$. Как было доказано ранее, поворот сохраняет расстояния, поэтому $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ переходит в равный ему треугольник $\triangle A'B'C'$ (по третьему признаку равенства треугольников — по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle ABC = \angle A'B'C'$.
Ответ: Да, поворот сохраняет величины углов.

5. Что называется центром симметрии n-го порядка фигуры?
Точка $O$ называется центром симметрии $n$-го порядка (или центром поворотной симметрии $n$-го порядка) для некоторой фигуры $F$, если поворот этой фигуры вокруг точки $O$ на угол $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) совмещает фигуру саму с собой. Иными словами, фигура инвариантна относительно такого поворота. Например, центр квадрата является его центром симметрии 4-го порядка, так как поворот на $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ отображает квадрат на себя. Центр равностороннего треугольника — центр симметрии 3-го порядка (угол $120^\circ$). При $n=2$ поворот осуществляется на $180^\circ$, и такой центр называют центром центральной симметрии.
Ответ: Центр симметрии $n$-го порядка фигуры — это точка, поворот вокруг которой на угол $\frac{360^\circ}{n}$ совмещает фигуру с самой собой.