Номер 3, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3.

Изобразите треугольник $A'B'C'$, полученный из треугольника $ABC$ поворотом вокруг точки $O$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.7).

Рис. 11.7

Изобразите треугольник A'B'C', полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки O на угол 270° против часовой стрелки (рис. 11.7).

Для того чтобы построить треугольник $A'B'C'$, нужно повернуть каждую вершину исходного треугольника $ABC$ вокруг точки $O$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки. Наиболее точный способ сделать это — использовать координатный метод.

1. Введем систему координат, в которой точка $O$ является началом координат, то есть имеет координаты $(0, 0)$. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

2. Определим координаты вершин треугольника $ABC$ относительно точки $O$:

- Вершина $A$ смещена от $O$ на 2 клетки влево и 1 клетку вверх, значит ее координаты $A(-2, 1)$.

- Вершина $B$ смещена от $O$ на 2 клетки влево и 2 клетки вниз, значит ее координаты $B(-2, -2)$.

- Вершина $C$ смещена от $O$ на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, значит ее координаты $C(3, 1)$.

3. Применим формулу поворота точки $(x, y)$ на угол $270^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Новые координаты $(x', y')$ находятся по правилу $(x, y) \rightarrow (y, -x)$. Это правило получается из общих формул поворота:

$x' = x \cos(270^\circ) - y \sin(270^\circ) = x \cdot 0 - y \cdot (-1) = y$

$y' = x \sin(270^\circ) + y \cos(270^\circ) = x \cdot (-1) + y \cdot 0 = -x$

4. Вычислим новые координаты для каждой вершины:

- Для точки $A(-2, 1)$: новые координаты $A'(1, -(-2)) = (1, 2)$.

- Для точки $B(-2, -2)$: новые координаты $B'(-2, -(-2)) = (-2, 2)$.

- Для точки $C(3, 1)$: новые координаты $C'(1, -3)$.

5. Для построения искомого треугольника $A'B'C'$ нужно отметить на сетке новые точки относительно центра $O$: $A'$ (1 клетка вправо, 2 вверх), $B'$ (2 клетки влево, 2 вверх) и $C'$ (1 клетка вправо, 3 вниз). Затем соединить эти точки отрезками.

Ответ: Вершины искомого треугольника $A'B'C'$ имеют следующие координаты относительно точки $O$: $A'(1, 2)$, $B'(-2, 2)$ и $C'(1, -3)$.