Номер 1, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите точку $A'$, полученную из точки $A$ поворотом вокруг точки $O$ на угол: а) $90^\circ$;б) $270^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Для решения задачи введем систему координат, в которой точка O является началом координат $(0, 0)$. Шаг сетки примем за единицу. В этой системе координат точка A, смещенная на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз от точки O, имеет координаты $(2, -1)$.

Поворот точки — это геометрическое преобразование, при котором точка перемещается по дуге окружности с центром в точке поворота (в нашем случае O) на заданный угол. Расстояние от центра поворота до точки при этом сохраняется (то есть $OA = OA'$).

а) Поворот на 90° против часовой стрелки

При повороте точки с координатами $(x, y)$ на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат ее новые координаты $(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = -y$

$y' = x$

Применим эти формулы для точки A с координатами $(2, -1)$:

$x' = -(-1) = 1$

$y' = 2$

Таким образом, точка A', полученная поворотом точки A на 90° против часовой стрелки, будет иметь координаты $(1, 2)$. Это означает, что для ее построения нужно от точки O отступить 1 клетку вправо и 2 клетки вверх.

Ответ: Координаты точки A' равны $(1, 2)$.

б) Поворот на 270° против часовой стрелки

Поворот на 270° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 90° по часовой стрелке. При повороте точки с координатами $(x, y)$ на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат ее новые координаты $(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = y$

$y' = -x$

Применим эти формулы для точки A с координатами $(2, -1)$:

$x' = -1$

$y' = -2$

Таким образом, точка A', полученная поворотом точки A на 270° против часовой стрелки, будет иметь координаты $(-1, -2)$. Это означает, что для ее построения нужно от точки O отступить 1 клетку влево и 2 клетки вниз.

Ответ: Координаты точки A' равны $(-1, -2)$.

Ниже представлено графическое решение задачи, где синим цветом обозначена точка для пункта а), а красным — для пункта б).