Номер 6, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Отрезок $A'B'$ получен поворотом отрезка $AB$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки (рис. 11.9). Укажите центр поворота.

Рис. 11.9

Для того чтобы найти центр поворота, нужно использовать его основное свойство: любая точка и ее образ, полученный в результате поворота, находятся на одинаковом расстоянии от центра поворота. Это означает, что центр поворота O должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответственные точки. В данном случае, центр поворота O — это точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AA' и серединного перпендикуляра к отрезку BB'.

Введем на рисунке декартову систему координат. Пусть левый нижний узел сетки будет началом координат, точкой (0, 0), а шаг сетки равен 1. Тогда координаты вершин отрезков будут следующими: $A(4, 3)$, $B(1, 4)$, $A'(1, 2)$ и $B'(0, -1)$.

1. Нахождение серединного перпендикуляра к отрезку AA'.
Найдем координаты середины отрезка AA', точки $M_A$:$M_A = \left(\frac{x_A+x_{A'}}{2}; \frac{y_A+y_{A'}}{2}\right) = \left(\frac{4+1}{2}; \frac{3+2}{2}\right) = (2.5; 2.5)$.
Найдем угловой коэффициент прямой AA':$k_{AA'} = \frac{y_{A'} - y_A}{x_{A'} - x_A} = \frac{2-3}{1-4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_1$ будет равен $-\frac{1}{k_{AA'}}$:$k_1 = -3$.
Уравнение серединного перпендикуляра (прямой, проходящей через $M_A$ с коэффициентом $k_1$):$y - 2.5 = -3(x - 2.5)$
$y = -3x + 7.5 + 2.5$
$y = -3x + 10$.

2. Нахождение серединного перпендикуляра к отрезку BB'.
Найдем координаты середины отрезка BB', точки $M_B$:$M_B = \left(\frac{x_B+x_{B'}}{2}; \frac{y_B+y_{B'}}{2}\right) = \left(\frac{1+0}{2}; \frac{4+(-1)}{2}\right) = (0.5; 1.5)$.
Найдем угловой коэффициент прямой BB':$k_{BB'} = \frac{y_{B'} - y_B}{x_{B'} - x_B} = \frac{-1-4}{0-1} = \frac{-5}{-1} = 5$.
Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_2$ равен $-\frac{1}{k_{BB'}}$:$k_2 = -\frac{1}{5}$.
Уравнение серединного перпендикуляра (прямой, проходящей через $M_B$ с коэффициентом $k_2$):$y - 1.5 = -\frac{1}{5}(x - 0.5)$
$y = -0.2x + 0.1 + 1.5$
$y = -0.2x + 1.6$.

3. Нахождение точки пересечения серединных перпендикуляров.
Чтобы найти координаты центра поворота, решим систему уравнений, составленных из уравнений двух перпендикуляров:$ \begin{cases} y = -3x + 10 \\ y = -0.2x + 1.6 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:$-3x + 10 = -0.2x + 1.6$
$10 - 1.6 = 3x - 0.2x$
$8.4 = 2.8x$
$x = \frac{8.4}{2.8} = 3$.
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:$y = -3 \cdot 3 + 10 = -9 + 10 = 1$.
Координаты центра поворота O — (3, 1). Если посмотреть на рисунок, эта точка находится на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх от левого нижнего угла сетки.

Ответ: Центр поворота — точка с координатами (3, 1) в заданной системе координат.