Номер 11, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Какие из фигур, изображенных на рисунке 10.7, имеют центр симметрии?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 10.7

Центр симметрии фигуры — это такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, фигура имеет центр симметрии, если она совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра. Проанализируем каждую фигуру, изображенную на рисунке.

а) Равносторонний треугольник. Его центр (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) не является центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра вершины треугольника отобразятся на середины противоположных сторон. Таким образом, повернутая фигура не совпадет с исходной.
Ответ: Фигура не имеет центра симметрии.

б) Параллелограмм. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, и вся фигура совмещается сама с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

в) Правильный шестиугольник. Геометрический центр правильного шестиугольника (точка пересечения его больших диагоналей) является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра каждая вершина переходит в противоположную, и фигура полностью совпадает сама с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

г) Круг. Геометрический центр круга является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ (а также на любой другой угол) вокруг своего центра круг совмещается сам с собой.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

д) Фигура, похожая на пропеллер. Эта фигура обладает поворотной симметрией 4-го порядка, то есть она совмещается сама с собой при поворотах на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ вокруг центральной точки. Поскольку поворот на $180^\circ$ является преобразованием симметрии для этой фигуры, у нее есть центр симметрии.
Ответ: Фигура имеет центр симметрии.

е) Правильная пятиконечная звезда. Эта фигура имеет поворотную симметрию 5-го порядка. Углы поворота, при которых она совмещается сама с собой, кратны $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Так как $180^\circ$ не является кратным $72^\circ$, поворот на $180^\circ$ не совмещает фигуру с самой собой.
Ответ: Фигура не имеет центра симметрии.

Таким образом, центр симметрии имеют фигуры, изображенные на рисунках б), в), г) и д).