Номер 5, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Имеет ли луч центр симметрии?

5. Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала вспомним определение центра симметрии и луча.

Центр симметрии фигуры — это такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры, точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Луч — это часть прямой, состоящая из данной точки (начала луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.

Предположим, что у луча существует центр симметрии. Обозначим этот предполагаемый центр симметрии как точку $C$.

Рассмотрим луч с началом в точке $O$, который проходит через точку $B$.

Докажем от противного. Допустим, у луча есть центр симметрии $C$.

Для удобства разместим наш луч на координатной оси $Ox$ так, чтобы его начало совпадало с точкой $O(0)$. Тогда луч будет представлять собой множество точек с координатами $x \ge 0$.

Пусть предполагаемый центр симметрии $C$ имеет координату $c$.

Согласно определению центра симметрии, для любой точки $P$ на луче (с координатой $p \ge 0$) симметричная ей точка $P'$ (с координатой $p'$) также должна лежать на луче. Координата симметричной точки находится из условия, что $C$ — середина отрезка $PP'$: $c = \frac{p+p'}{2}$, откуда $p' = 2c - p$.

Таким образом, для любого $p \ge 0$ должно выполняться условие $p' = 2c - p \ge 0$.

Однако луч уходит в бесконечность. Мы можем взять точку на луче со сколь угодно большой координатой $p$. Для любого фиксированного значения $c$ мы всегда можем выбрать такое $p$, что это условие не будет выполняться.

Например, выберем точку на луче с координатой $p = 3c$. Если $c > 0$, то такая точка существует. Тогда координата симметричной ей точки будет $p' = 2c - 3c = -c$. Поскольку $c > 0$, то $-c < 0$, и точка $P'$ не принадлежит лучу. Наше предположение неверно.

Если $c = 0$, то $p' = -p$. Для любой точки луча с $p > 0$ симметричная ей точка будет иметь координату $p' < 0$, то есть не будет лежать на луче.

Если $c < 0$, то для любой точки луча с $p \ge 0$, симметричная ей точка будет иметь координату $p' = 2c - p$. Так как $2c < 0$ и $-p \le 0$, то $p'$ всегда будет отрицательной и не будет принадлежать лучу.

Мы рассмотрели все возможные варианты расположения предполагаемого центра симметрии $C$ на прямой, содержащей луч, и в каждом случае пришли к противоречию. Если же предположить, что центр симметрии лежит вне прямой, содержащей луч, то симметричные точки луча также будут лежать вне этой прямой, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет, луч не имеет центра симметрии.