Вопросы, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие точки называются симметричными относительно точки?

2. Что называется центральной симметрией?

3. Какие фигуры называются центрально-симметричными?

4. Какая фигура называется центрально-симметричной?

5. Сохраняет ли центральная симметрия расстояние между точками?

6. Куда при центральной симметрии переходят отрезок, луч, прямая?

7. Сохраняет ли центральная симметрия величины углов?

1. Какие точки называются симметричными относительно точки?
Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, и при этом расстояние от $O$ до $A$ равно расстоянию от $O$ до $A'$ ($OA = OA'$). Точка, симметричная центру симметрии $O$ относительно самого себя, есть сама точка $O$.
Ответ: Точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$.

2. Что называется центральной симметрией?
Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование фигуры (или пространства), при котором каждая точка $M$ переходит в новую точку $M'$, симметричную ей относительно центра $O$. Точка $O$ при этом называется центром симметрии. Это преобразование является одним из видов движения (изометрии).
Ответ: Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование, которое каждую точку фигуры переводит в симметричную ей точку относительно центра $O$.

3. Какие фигуры называются центрально-симметричными?
Фигуры называются центрально-симметричными, если существует такая точка (центр симметрии), относительно которой центральная симметрия переводит фигуру в саму себя. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность (центр симметрии — ее центр), параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения диагоналей), прямая, отрезок.
Ответ: Фигуры, которые при центральной симметрии относительно некоторой точки переходят в себя.

4. Какая фигура называется центрально-симметричной?
Фигура называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$, называемая центром симметрии, что для каждой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иначе говоря, фигура совпадает со своим образом при центральной симметрии.
Ответ: Фигура, которая имеет центр симметрии, то есть точку, при симметрии относительно которой фигура переходит сама в себя.

5. Сохраняет ли центральная симметрия расстояние между точками?
Да, центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. Она является движением (изометрией).
Доказательство: Пусть при центральной симметрии относительно точки $O$ точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Это значит, что $O$ — середина отрезков $AA'$ и $BB'$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. По определению симметрии, $AO = A'O$ и $BO = B'O$. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Расстояние между точками сохранилось.
Ответ: Да, сохраняет.

6. Куда при центральной симметрии переходят отрезок, луч, прямая?
При центральной симметрии:
- Отрезок переходит в равный ему и параллельный ему отрезок. Если отрезок проходит через центр симметрии, то он переходит в отрезок, лежащий на той же прямой.
- Прямая переходит в параллельную ей прямую. Если прямая проходит через центр симметрии, она переходит сама в себя.
- Луч переходит в луч, который ему противонаправлен. То есть, если был луч $AB$, то он перейдет в луч $A'B'$, где $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$. При этом векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$ будут противоположно направлены ($\vec{A'B'} = -\vec{AB}$).
Ответ: Отрезок переходит в равный ему отрезок, луч — в противонаправленный ему луч, прямая — в параллельную ей прямую (или в себя).

7. Сохраняет ли центральная симметрия величины углов?
Да, центральная симметрия сохраняет величины углов.
Это следует из того, что центральная симметрия является движением (изометрией), а любое движение сохраняет углы. Можно доказать это и напрямую. Рассмотрим угол $\angle ABC$. При центральной симметрии точки $A, B, C$ перейдут в точки $A', B', C'$. Как было показано в ответе на вопрос 5, расстояния сохраняются, то есть $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих углов: $\angle ABC = \angle A'B'C'$.
Ответ: Да, сохраняет.