Номер 21, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Окружность на координатной плоскости задана уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 4 = 0$. Напишите уравнение окружности, симметричной данной относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Сначала приведем уравнение окружности к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, чтобы определить ее центр $(a, b)$ и радиус $R$. Для этого в исходном уравнении $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 4 = 0$ выделим полные квадраты.

Группируем слагаемые: $(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) - 4 = 0$.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов, добавляя и вычитая необходимые константы:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 - 4 = 0$

$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 - 4 = 0$

Сворачиваем квадраты и приводим подобные слагаемые:

$(x+1)^2 + (y-2)^2 - 9 = 0$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$

Из канонического уравнения видно, что центр исходной окружности находится в точке $C(-1, 2)$, а ее радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

а) оси абсцисс

При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси $Ox$) абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет знак на противоположный: точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Следовательно, центр исходной окружности $C(-1, 2)$ отобразится в центр новой окружности $C_a(-1, -2)$. Радиус при симметрии не изменяется, то есть $R_a = 3$.

Уравнение новой окружности с центром в $C_a(-1, -2)$ и радиусом $R_a = 3$ имеет вид:

$(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$

$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 9$

Ответ: $(x+1)^2 + (y+2)^2 = 9$.

б) оси ординат

При симметричном отображении относительно оси ординат (оси $Oy$) ордината точки остается неизменной, а абсцисса меняет знак на противоположный: точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$. Следовательно, центр исходной окружности $C(-1, 2)$ отобразится в центр новой окружности $C_b(-(-1), 2)$, то есть $C_b(1, 2)$. Радиус при симметрии не изменяется, то есть $R_b = 3$.

Уравнение новой окружности с центром в $C_b(1, 2)$ и радиусом $R_b = 3$ имеет вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$

Ответ: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$.