Номер 24, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что последовательное выполнение двух осевых симметрий относительно параллельных прямых дает параллельный перенос.

Пусть даны две параллельные прямые $l$ и $m$. Обозначим осевую симметрию относительно прямой $l$ как $S_l$, а осевую симметрию относительно прямой $m$ как $S_m$. Нам нужно доказать, что композиция этих двух симметрий, то есть последовательное их выполнение, является параллельным переносом.

Возьмем произвольную точку $A$ на плоскости.

1. Выполним первую осевую симметрию относительно прямой $l$. Точка $A$ перейдет в точку $A'$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$, и если $H_1$ – точка пересечения $AA'$ и $l$, то $AH_1 = H_1A'$.

2. Теперь выполним вторую осевую симметрию относительно прямой $m$ для точки $A'$. Точка $A'$ перейдет в точку $A''$. По определению, прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $A'A''$. Это означает, что отрезок $A'A''$ перпендикулярен прямой $m$, и если $H_2$ – точка пересечения $A'A''$ и $m$, то $A'H_2 = H_2A''$.

Рассмотрим расположение точек $A$, $A'$ и $A''$. Поскольку прямые $l$ и $m$ параллельны ($l \parallel m$), а отрезки $AA'$ и $A'A''$ перпендикулярны этим прямым ($AA' \perp l$ и $A'A'' \perp m$), то отрезки $AA'$ и $A'A''$ параллельны друг другу. Так как они имеют общую точку $A'$, они лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $A'$, $A''$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна прямым $l$ и $m$.

Найдем вектор смещения $\vec{AA''}$. Этот вектор показывает, куда переместилась исходная точка $A$ в результате двух симметрий. Вектор $\vec{AA''}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{AA''} = \vec{AA'} + \vec{A'A''}$

Так как $H_1$ – середина отрезка $AA'$, то вектор от точки $A$ до точки $A'$ можно выразить как $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{AH_1}$. Аналогично, можно записать $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{H_1A'}$. Так как $H_2$ – середина отрезка $A'A''$, то вектор $\vec{A'A''} = 2 \cdot \vec{A'H_2}$.

Подставим эти выражения в сумму: $\vec{AA''} = 2 \cdot \vec{H_1A'} + 2 \cdot \vec{A'H_2} = 2 \cdot (\vec{H_1A'} + \vec{A'H_2})$

По правилу сложения векторов (правилу треугольника), $\vec{H_1A'} + \vec{A'H_2} = \vec{H_1H_2}$. Следовательно, получаем: $\vec{AA''} = 2 \cdot \vec{H_1H_2}$

Вектор $\vec{H_1H_2}$ соединяет точки на прямых $l$ и $m$ и перпендикулярен им обеим, поскольку он лежит на прямой $AA''$. Его направление – от прямой $l$ к прямой $m$. Его длина равна расстоянию между прямыми $l$ и $m$. Важно отметить, что этот вектор не зависит от выбора начальной точки $A$. Для любой точки на плоскости вектор, соединяющий основания перпендикуляров, опущенных на прямые $l$ и $m$, будет одним и тем же вектором $\vec{H_1H_2}$.

Таким образом, мы показали, что при последовательном выполнении двух осевых симметрий относительно параллельных прямых $l$ и $m$ любая точка $A$ плоскости переходит в точку $A''$ такую, что вектор смещения $\vec{AA''}$ является постоянным вектором, равным $2 \cdot \vec{H_1H_2}$.

Преобразование, при котором каждая точка плоскости смещается на один и тот же вектор, по определению является параллельным переносом. Вектор переноса в данном случае направлен перпендикулярно осям симметрии, а его модуль равен удвоенному расстоянию между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Последовательное выполнение двух осевых симметрий относительно параллельных прямых $l$ и $m$ является параллельным переносом на вектор, который перпендикулярен прямым $l$ и $m$, направлен от первой оси симметрии ко второй, и его длина равна удвоенному расстоянию между этими прямыми.